Problèmes d'optimisation

Qu'est-ce qu'un problème d'optimisation ?

Un problème d'optimisation consiste à trouver la valeur d'une variable qui rend une quantité (aire, volume, coût, bénéfice...) maximale ou minimale, sous certaines contraintes.

Méthode générale

1. Choisir une variable $x$ et déterminer son intervalle de validité (les contraintes du problème, par exemple des longueurs positives).
2. Exprimer la quantité à optimiser en fonction de $x$ : on obtient une fonction $f(x)$ .
3. Étudier les variations de $f$ sur l'intervalle pertinent (calcul de $f'$ , signe, tableau de variations).
4. Conclure : lire dans le tableau la valeur de $x$ qui réalise l'extremum recherché, et calculer la valeur optimale de $f$ .

Exemple

Une entreprise vend $x$ objets (avec $0 \leqslant x \leqslant 100$ ) et son bénéfice (en euros) est modélisé par :

B(x) = -2x^2+80x-150

On dérive : $B'(x) = -4x+80$ .

$B'(x) = 0 \iff x=20$ . Comme $B'$ est affine décroissante (coefficient $-4<0$ ) : $B'(x)>0$ pour $x<20$ et $B'(x)<0$ pour $x>20$ .

$B(20) = -2(400)+1600-150 = -800+1600-150=650$ .

Conclusion : le bénéfice est maximal pour $x=20$ objets vendus, avec un bénéfice maximal de $650$ €.

Points de vigilance

Toujours vérifier que la valeur trouvée pour $x$ appartient bien à l'intervalle imposé par le contexte (une longueur ne peut pas être négative, un nombre d'objets vendus est borné, etc.). Si l'extremum théorique de $f'$ tombe hors de l'intervalle autorisé, il faut comparer les valeurs de $f$ aux bornes de l'intervalle.

Exercices de la leçon

Exercice 1

Dans une démarche d'optimisation, après avoir exprimé la quantité à optimiser comme une fonction $f(x)$ , la première chose à calculer est :

Corrigé

On étudie les variations via le signe de la dérivée, c'est donc la première quantité à calculer après avoir modélisé le problème.

Exercice 2

Dans un problème d'optimisation concret, on peut toujours ignorer les contraintes sur l'intervalle de définition de la variable.

Corrigé

Il faut toujours vérifier que la solution trouvée respecte les contraintes du problème (longueurs positives, quantités bornées, etc.), sinon la réponse n'a pas de sens physique.

Exercice 3

Le coût de production de $x$ articles est $C(x) = x^2-40x+500$ pour $x \in [0\,;\,40]$ . Pour quelle valeur de $x$ ce coût est-il minimal ?

Corrigé

$C'(x)=2x-40$ s'annule en $x=20$ , avec $C'<0$ avant et $C'>0$ après : minimum en $x=20$ .

Exercice 4

On dispose de $100$ m de clôture pour entourer un enclos rectangulaire. On note $x$ la longueur d'un des côtés (en mètres, $0<x<50$ ). Exprime l'aire $\mathcal{A}(x)$ de l'enclos, étudie ses variations, puis détermine la valeur de $x$ qui maximise l'aire et donne cette aire maximale.

Corrigé

On modélise l'aire avec la contrainte de périmètre fixé, on étudie le signe de la dérivée affine, puis on conclut sur le maximum.

Exercice 5

Une entreprise estime que son bénéfice (en milliers d'euros) pour la production de $x$ centaines d'objets ( $0 \leqslant x \leqslant 10$ ) est $B(x) = -x^3+9x^2-15$ . On admet que $B'(x) = -3x^2+18x = -3x(x-6)$ . Étudie le signe de $B'(x)$ sur $[0\,;\,10]$ , dresse le tableau de variations de $B$ , et détermine la production qui maximise le bénéfice ainsi que ce bénéfice maximal.

Corrigé

On factorise la dérivée, on étudie son signe en tenant compte du coefficient principal négatif, puis on confirme avec les valeurs aux bornes que le maximum global est bien atteint en $x=6$ .

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