Signe de la dérivée et sens de variation

Théorème fondamental

Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$ .

- Si $f'(x) \geqslant 0$ pour tout $x$ de $I$ (avec égalité seulement en des points isolés), alors $f$ est croissante sur $I$ .

- Si $f'(x) \leqslant 0$ pour tout $x$ de $I$ (avec égalité seulement en des points isolés), alors $f$ est décroissante sur $I$ .

- Si $f'(x) = 0$ pour tout $x$ de $I$ , alors $f$ est constante sur $I$ .

Ce théorème permet d'étudier les variations d'une fonction sans tracer sa courbe : il suffit d'étudier le signe de $f'(x)$ .

Méthode

1. Calculer la fonction dérivée $f'(x)$ .
2. Étudier le signe de $f'(x)$ (souvent en la factorisant, ou via un trinôme du second degré).
3. En déduire le sens de variation de $f$ grâce au théorème.

Exemple

Soit $f(x) = x^3-3x$ sur $\mathbb{R}$ . On dérive :

f'(x) = 3x^2-3 = 3(x^2-1) = 3(x-1)(x+1)

On étudie le signe de ce produit (racines $-1$ et $1$ , coefficient $a=3>0$ pour le trinôme $x^2-1$ ) :

- $f'(x) > 0$ sur $]-\infty\,;\,-1[$ et sur $]1\,;\,+\infty[$ : $f$ y est croissante.
- $f'(x) < 0$ sur $]-1\,;\,1[$ : $f$ y est décroissante.
- $f'(-1)=0$ et $f'(1)=0$ .

Extremums locaux

Si $f'$ s'annule en $a$ en changeant de signe, alors $f$ admet un extremum local en $a$ :

- un maximum local si $f'$ passe du signe $+$ au signe $-$ ;

- un minimum local si $f'$ passe du signe $-$ au signe $+$ .

Dans l'exemple précédent : en $x=-1$ , $f'$ passe de $+$ à $-$ , donc $f(-1)=(-1)^3-3(-1)=-1+3=2$ est un maximum local. En $x=1$ , $f'$ passe de $-$ à $+$ , donc $f(1)=1-3=-2$ est un minimum local.

Exercices de la leçon

Exercice 1

Si $f'(x) \geqslant 0$ sur un intervalle $I$ , alors $f$ est :

Corrigé

C'est le théorème fondamental : une dérivée positive (ou nulle en des points isolés) caractérise une fonction croissante.

Exercice 2

Si la dérivée $f'$ s'annule en $a$ sans changer de signe, alors $f$ admet nécessairement un extremum local en $a$ .

Corrigé

Si $f'$ s'annule en $a$ mais garde le même signe avant et après (par exemple $f(x)=x^3$ en $a=0$ ), il n'y a pas d'extremum local : c'est un point d'inflexion.

Exercice 3

Soit $f$ dérivable telle que $f'(x) = (x-2)^2$ . Que peut-on dire des variations de $f$ sur $\mathbb{R}$ ?

Corrigé

$(x-2)^2 \geqslant 0$ pour tout $x$ , avec égalité seulement en $x=2$ (point isolé) : $f$ est donc croissante sur $\mathbb{R}$ tout entier (sans extremum, car $f'$ ne change pas de signe).

Exercice 4

Soit $f(x) = x^2-4x+3$ sur $\mathbb{R}$ . Étudie le signe de $f'(x)$ et donne le sens de variation de $f$ .

Corrigé

On étudie le signe de la fonction affine $f'(x)=2x-4$ puis on applique le théorème du lien dérivée/variations.

Exercice 5

Soit $f(x) = x^3-12x+1$ sur $\mathbb{R}$ . Détermine le signe de $f'(x)$ , le sens de variation de $f$ , et précise s'il existe des extremums locaux (en donnant leur valeur).

Corrigé

On factorise la dérivée comme un trinôme du second degré, on étudie son signe, puis on identifie les changements de signe comme des extremums locaux.

AlphaMath Académie · Signe de la dérivée et sens de variation · Étude de fonctions