Construire un tableau de variations complet

Qu'est-ce qu'un tableau de variations ?

Un tableau de variations synthétise, sur l'ensemble de définition d'une fonction, le signe de la dérivée et le sens de variation associé (flèches montantes/descendantes), ainsi que les valeurs prises aux bornes et aux points où $f'$ s'annule.

Méthode complète (rappel et approfondissement)

1. Déterminer l'ensemble de définition de $f$ .
2. Calculer $f'(x)$ et la factoriser si possible.
3. Résoudre $f'(x) = 0$ et étudier le signe de $f'(x)$ sur tout l'ensemble de définition.
4. Construire le tableau : une ligne pour $x$ , une ligne pour le signe de $f'(x)$ , une ligne pour les variations de $f$ (avec flèches), en indiquant les valeurs de $f$ aux points clés.

Exemple détaillé

Étudions $f(x) = -x^3+3x+1$ sur $\mathbb{R}$ .

f'(x) = -3x^2+3 = -3(x^2-1) = -3(x-1)(x+1)

Racines de $f'$ : $-1$ et $1$ . Comme le coefficient devant $x^2$ dans $-3(x^2-1)$ est négatif, $f'(x) < 0$ à l'extérieur de $[-1\,;\,1]$ et $f'(x) > 0$ à l'intérieur.

$f(-1) = -(-1)^3+3(-1)+1 = 1-3+1=-1$
$f(1) = -1^3+3(1)+1 = -1+3+1=3$

Tableau de variations :

x

-\infty

-1

1

+\infty

|---|---|---|---|---|---|---|---|

$f'(x)$		$-$	$0$	$+$	$0$	$-$
$f(x)$		$\searrow$	$-1$	$\nearrow$	$3$	$\searrow$

On lit directement : minimum local

-1

x=-1

, maximum local

3

x=1

Utiliser le tableau pour résoudre des problèmes

Un tableau de variations permet de répondre à des questions comme :
- « Combien de solutions a l'équation $f(x)=k$ ? » (en comparant $k$ aux valeurs extrêmes lues dans le tableau)
- « Quel est le maximum de $f$ sur $[a\,;\,b]$ ? » (on regarde la plus grande valeur atteinte dans le tableau restreint à $[a\,;\,b]$ )

Exercices de la leçon

Exercice 1

Dans un tableau de variations, une flèche descendante ( $\searrow$ ) signifie que la fonction est :

Corrigé

Une flèche descendante symbolise une fonction décroissante sur l'intervalle considéré.

Exercice 2

Dans un tableau de variations, les valeurs indiquées aux changements de variation sont toujours les valeurs de $f'(x)$ et non de $f(x)$ .

Corrigé

Sur la ligne de variations, on indique les valeurs de $f(x)$ (les images), pas celles de $f'(x)$ qui figurent sur la ligne du signe de la dérivée.

Exercice 3

Une fonction $f$ a pour tableau de variations : décroissante sur $]-\infty\,;\,0]$ avec $f(0)=-2$ , puis croissante sur $[0\,;\,+\infty[$ . Combien de solutions a l'équation $f(x) = 5$ ?

Corrigé

Comme $5 > f(0)=-2$ (le minimum), et que $f$ tend vers $+\infty$ des deux côtés (croissante puis décroissante depuis un minimum), la droite $y=5$ coupe la courbe une fois sur chaque branche : deux solutions.

Exercice 4

Soit $f(x) = x^2-6x+5$ sur $\mathbb{R}$ . Construis le tableau de variations complet de $f$ (avec les valeurs numériques).

Corrigé

On calcule la dérivée, on détermine son signe, puis on synthétise dans un tableau avec la valeur minimale $f(3)=-4$ .

Exercice 5

On veut fabriquer une boîte sans couvercle à partir d'une plaque carrée de carton de côté $12$ cm, en découpant un carré de côté $x$ (en cm, $0<x<6$ ) à chaque coin puis en repliant. Le volume de la boîte est donné par $V(x) = x(12-2x)^2$ . On admet que $V'(x) = 12(x-2)(x-6)$ . Étudie le signe de $V'(x)$ sur $]0\,;\,6[$ , dresse le tableau de variations de $V$ , et donne la valeur de $x$ qui maximise le volume ainsi que ce volume maximal.

Corrigé

On étudie le signe du produit $(x-2)(x-6)$ en tenant compte de la restriction $0<x<6$ qui fixe le signe de l'un des deux facteurs, puis on lit le maximum dans le tableau.

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