Définition et propriétés algébriques

Définition de la fonction exponentielle

Théorème (admis) : il existe une unique fonction $f$ dérivable sur $\mathbb{R}$ telle que $f' = f$ et $f(0)=1$ . Cette fonction est appelée fonction exponentielle, notée $\exp$ ou $x \mapsto e^x$ .

Donc, par définition :

\exp'(x) = \exp(x) \quad \text{et} \quad \exp(0) = 1

On note $e = \exp(1) \approx 2{,}718$ (un nombre irrationnel, base du logarithme népérien).

Propriétés algébriques

Pour tous réels $a$ et $b$ :

e^{a+b} = e^a \times e^b \qquad e^{-a} = \dfrac{1}{e^a} \qquad e^{a-b} = \dfrac{e^a}{e^b} \qquad (e^a)^n = e^{na} \ (n \in \mathbb{Z})

Exemple : $e^{3}\times e^{-1} = e^{3-1} = e^2$ .

Valeurs particulières : $e^0 = 1$ , et pour tout réel $x$ , $e^x > 0$ (l'exponentielle ne s'annule jamais et reste toujours strictement positive).

Équations et inéquations avec l'exponentielle

Comme $\exp$ est strictement croissante (voir leçon suivante), elle est injective : pour tous réels $a,b$ ,

e^a = e^b \iff a=b \qquad\qquad e^a < e^b \iff a<b

Exemple : résoudre $e^{2x-1} = e^3$ équivaut à résoudre $2x-1=3$ , soit $x=2$ .

Exercices de la leçon

Exercice 1

Quelle est la valeur de $e^0$ ?

Corrigé

Par définition de la fonction exponentielle, $\exp(0)=1$ , donc $e^0=1$ .

Exercice 2

Pour tout réel $x$ , $e^x$ peut être négatif.

Corrigé

La fonction exponentielle est strictement positive sur $\mathbb{R}$ : $e^x>0$ pour tout réel $x$ , sans exception.

Exercice 3

Simplifie l'expression $A = \dfrac{e^{5}\times e^{-2}}{e^{1}}$ .

Corrigé

On applique successivement les règles $e^a\times e^b=e^{a+b}$ puis $\dfrac{e^a}{e^b}=e^{a-b}$ pour simplifier l'expression en une seule puissance de $e$ .

Exercice 4

Résous l'équation $e^{3x+2} = e^{x-4}$ .

Corrigé

On utilise le fait que $e^a=e^b \iff a=b$ pour transformer l'équation exponentielle en une simple équation affine.

Exercice 5

Résous l'inéquation $e^{2x-1} \leqslant e^{3}$ .

Corrigé

Comme $\exp$ est strictement croissante, $e^{2x-1}\leqslant e^3 \iff 2x-1\leqslant 3 \iff 2x\leqslant 4 \iff x\leqslant 2$ .

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