Équations différentielles y'=ay et y'=ay+b

Qu'est-ce qu'une équation différentielle ?

Une équation différentielle est une équation dans laquelle l'inconnue est une fonction $y$, et qui fait intervenir cette fonction ainsi que sa dérivée $y'$ (et parfois des dérivées d'ordre supérieur). Résoudre une équation différentielle, c'est trouver toutes les fonctions $y$ qui vérifient cette relation sur un intervalle donné, en général $\mathbb{R}$.

C'est ici que la fonction exponentielle joue un rôle central : elle est, à une constante multiplicative près, la seule fonction égale à sa propre dérivée.

L'équation $y' = ay$

Théorème. Soit $a$ un réel. Les solutions sur $\mathbb{R}$ de l'équation différentielle

$$y' = ay$$

sont exactement les fonctions de la forme

$$y(x) = Ce^{ax}, \quad C \in \mathbb{R}$$

On vérifie facilement qu'une telle fonction convient : si $y(x) = Ce^{ax}$, alors $y'(x) = Ce^{ax}\times a = a y(x)$. La partie la plus difficile du théorème (qu'il n'y a pas d'autres solutions) est admise.

Il existe donc une infinité de solutions, une pour chaque valeur de $C$. Pour en choisir une seule, il faut une information supplémentaire : une condition initiale.

Généralisation : l'équation $y' = ay + b$

Théorème. Soient $a$ et $b$ deux réels, avec $a \neq 0$. Les solutions sur $\mathbb{R}$ de

$$y' = ay + b$$

sont exactement les fonctions de la forme

$$y(x) = Ce^{ax} - \dfrac{b}{a}, \quad C \in \mathbb{R}$$

Idée : la fonction constante $y_p(x) = -\dfrac{b}{a}$ est une solution particulière évidente (car $y_p' = 0$ et $a\times\left(-\dfrac{b}{a}\right) + b = -b+b=0$). On ajoute ensuite à cette solution particulière n'importe quelle solution $Ce^{ax}$ de l'équation "sans second membre" $y'=ay$, ce qui donne la forme générale ci-dessus.

Déterminer la constante $C$

Si l'on connaît une condition initiale $y(x_0) = y_0$, on peut déterminer la valeur exacte de $C$ en remplaçant $x$ par $x_0$ dans la solution générale, puis en résolvant l'équation obtenue.

Exemple : pour $y' = 2y$ avec $y(0) = 5$, la solution générale est $y(x) = Ce^{2x}$. En $x=0$ : $y(0) = Ce^0 = C$. Comme $y(0)=5$, on a $C=5$, donc $y(x) = 5e^{2x}$.

Exemple de modélisation : la décroissance radioactive

On modélise la désintégration d'un échantillon radioactif. Soit $N(t)$ le nombre de noyaux radioactifs présents à l'instant $t$ (en années). La loi de désintégration radioactive affirme que la vitesse de désintégration est proportionnelle au nombre de noyaux présents :

où $\lambda > 0$ est la constante radioactive du matériau (ici $a=-\lambda < 0$, et $b=0$).

D'après le théorème, les solutions sont $N(t) = Ce^{-\lambda t}$.

Condition initiale : à $t=0$, on suppose qu'il y a $N_0$ noyaux. Alors $N(0) = C = N_0$, donc :

Application numérique : prenons un échantillon avec $N_0 = 1000$ noyaux et $\lambda = 0{,}1$ (en an$^{-1}$). Alors $N(t) = 1000\,e^{-0{,}1t}$.

Calculons le nombre de noyaux restants après $10$ ans :

On retrouve ainsi la notion de demi-vie : le temps $T$ au bout duquel la moitié des noyaux a disparu vérifie $N(T) = \dfrac{N_0}{2}$, soit $e^{-\lambda T} = \dfrac{1}{2}$, c'est-à-dire $T = \dfrac{\ln 2}{\lambda}$. Ici, $T = \dfrac{\ln 2}{0{,}1} \approx 6{,}9$ années.