Étude de fonctions avec l'exponentielle

Méthode générale d'étude d'une fonction avec exponentielle

1. Déterminer l'ensemble de définition (l'exponentielle est définie sur $\mathbb{R}$ tout entier, donc souvent $D_f=\mathbb{R}$ ).
2. Calculer les limites aux bornes de l'ensemble de définition.
3. Calculer la dérivée $f'(x)$ , souvent en factorisant par un terme exponentiel (toujours strictement positif), pour faciliter l'étude du signe.
4. Étudier le signe de $f'(x)$ et dresser le tableau de variations.
5. En déduire les extremums éventuels.

Exemple détaillé

Soit $f(x) = xe^{-x}$ sur $\mathbb{R}$ .

Dérivée : par la formule du produit, avec $u(x)=x$ ( $u'=1$ ) et $v(x)=e^{-x}$ ( $v'(x)=-e^{-x}$ ) :

f'(x) = 1\times e^{-x} + x\times(-e^{-x}) = e^{-x}(1-x)

Signe de $f'(x)$ : comme $e^{-x}>0$ toujours, le signe de $f'(x)$ est celui de $(1-x)$ :
- $f'(x)>0$ pour $x<1$ ;
- $f'(x)<0$ pour $x>1$ .

Tableau de variations : $f$ est croissante sur $]-\infty;1]$ puis décroissante sur $[1;+\infty[$ . Elle admet donc un maximum en $x=1$ , valant $f(1)=1\times e^{-1}=\dfrac{1}{e}$ .

Limites : $\lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty$ (croissances comparées : $xe^{-x}=-(-x)e^{-x}\to-\infty$ ... en pratique on pose $X=-x\to+\infty$ et $xe^{-x}=-Xe^X \to -\infty$ ), et $\lim_{x\to+\infty}f(x)=0$ (croissances comparées directement).

Astuce de calcul : factoriser systématiquement par le terme exponentiel commun simplifie grandement l'étude du signe, car $e^{u(x)}$ ne change jamais de signe.

Exercices de la leçon

Exercice 1

Dans l'étude du signe de $f'(x) = e^{-x}(1-x)$ , pourquoi peut-on se contenter d'étudier le signe de $(1-x)$ ?

Corrigé

Comme l'exponentielle est toujours strictement positive, elle ne change jamais le signe du produit : seul le signe de l'autre facteur compte.

Exercice 2

La fonction $f(x) = xe^{-x}$ admet un maximum en $x=1$ valant $\dfrac{1}{e}$ .

Corrigé

C'est exactement le résultat établi dans le cours : $f$ croît puis décroît, avec un maximum en $x=1$ où $f(1)=e^{-1}=\frac1e$ .

Exercice 3

Soit $f(x) = (x-2)e^x$ . Calcule $f'(x)$ et factorise le résultat.

Corrigé

On applique la formule de dérivation d'un produit, puis on factorise systématiquement par le terme exponentiel commun pour simplifier l'expression.

Exercice 4

Pour la fonction $f(x) = (x-2)e^x$ de l'exercice précédent (avec $f'(x)=e^x(x-1)$ ), dresse le tableau de variations de $f$ sur $\mathbb{R}$ et donne la valeur de l'éventuel extremum.

Corrigé

On étudie le signe de $f'$ grâce au facteur exponentiel toujours positif, on en déduit les variations, puis on calcule la valeur exacte du minimum et les limites aux bornes en utilisant les croissances comparées.

Exercice 5

Soit $f(x) = e^{x}-x-1$ . On donne $f'(x) = e^x - 1$ . Quel est le signe de $f'(x)$ sur $\mathbb{R}$ ?

Corrigé

$f'(x)=e^x-1$ s'annule quand $e^x=1$ , soit $x=0$ ; comme $\exp$ est croissante, $e^x\geqslant1 \iff x\geqslant0$ , donc $f'(x)\geqslant0$ pour $x\geqslant0$ et $f'(x)\leqslant0$ pour $x\leqslant0$ .

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