Variations et limites de l'exponentielle

Sens de variation

Comme $\exp'(x) = \exp(x) > 0$ pour tout réel $x$ , la fonction exponentielle est strictement croissante sur $\mathbb{R}$ .

x

-\infty

+\infty

|---|---|---|---|

$\exp'(x)=\exp(x)$		$+$
$\exp(x)$	$0$	$\nearrow$	$+\infty$

Limites aux bornes

\lim_{x\to+\infty} e^x = +\infty \qquad\qquad \lim_{x\to-\infty} e^x = 0

La droite $y=0$ (l'axe des abscisses) est donc asymptote horizontale à la courbe de $\exp$ en $-\infty$ .

Dérivée de $e^{u(x)}$

Formule : $\left(e^{u(x)}\right)' = u'(x)\times e^{u(x)}$

Exemple : $f(x) = e^{-3x+1}$ . On pose $u(x)=-3x+1$ , donc $u'(x)=-3$ :

f'(x) = -3e^{-3x+1}

Comme $e^{u(x)}>0$ toujours, le signe de $f'(x)$ est celui de $u'(x)$ : ici $f'(x)<0$ pour tout $x$ , donc $f$ est strictement décroissante sur $\mathbb{R}$ .

Croissances comparées (admis)

Théorème (croissances comparées) : pour tout entier $n$ ,

$\lim_{x\to+\infty} \dfrac{e^x}{x^n} = +\infty \qquad\qquad \lim_{x\to-\infty} x^n e^x = 0$

Cela signifie que l'exponentielle "l'emporte" toujours sur les puissances de $x$ quand $x\to+\infty$ : même si $x^n$ devient très grand, $e^x$ devient encore bien plus grand.

Exemple d'application : $\lim_{x\to+\infty}\dfrac{e^x}{x^2} = +\infty$ et $\lim_{x\to-\infty} x^2e^x = 0$ .

Exercices de la leçon

Exercice 1

Quelle est la limite de $e^x$ quand $x \to -\infty$ ?

Corrigé

On a $\lim_{x\to-\infty} e^x = 0$ : c'est une limite usuelle à connaître, qui donne l'asymptote horizontale $y=0$ en $-\infty$ .

Exercice 2

La fonction exponentielle est strictement croissante sur $\mathbb{R}$ .

Corrigé

Comme $\exp'(x)=\exp(x)>0$ pour tout réel $x$ , la fonction exponentielle est bien strictement croissante sur tout $\mathbb{R}$ .

Exercice 3

Calcule la dérivée de $f(x) = e^{x^2}$ .

Corrigé

On applique directement la formule de dérivation de la composée avec l'exponentielle, en identifiant $u(x)=x^2$ .

Exercice 4

Déterminer $\lim_{x\to+\infty} (x^2 - e^x)$ . Justifie ta réponse en utilisant les croissances comparées.

Corrigé

On factorise par le terme exponentiel dominant pour lever l'indétermination, en utilisant le théorème des croissances comparées qui garantit que l'exponentielle l'emporte sur $x^2$ .

Exercice 5

Quelle est la limite de $x e^x$ quand $x \to -\infty$ ?

Corrigé

D'après le théorème des croissances comparées, $\lim_{x\to-\infty} x^n e^x = 0$ pour tout entier $n$ , donc en particulier pour $n=1$ , $\lim_{x\to-\infty} xe^x = 0$ .

AlphaMath Académie · Variations et limites de l'exponentielle · Fonction exponentielle

Variations et limites de l'exponentielle

Sens de variation

Limites aux bornes

Dérivée de eu(x)e^{u(x)}eu(x)

Croissances comparées (admis)

Exercices de la leçon

Dérivée de $e^{u(x)}$