Définition et propriétés algébriques

Définition du logarithme népérien

Définition : la fonction logarithme népérien, notée $\ln$ , est la fonction réciproque de la fonction exponentielle. Elle est définie sur $]0;+\infty[$ et vérifie :

$\ln(e^x) = x \text{ pour tout } x \in \mathbb{R} \qquad\qquad e^{\ln(x)} = x \text{ pour tout } x>0$

En particulier : $\ln(1) = 0$ (car $e^0=1$ ) et $\ln(e) = 1$ (car $e^1=e$ ).

Conséquence graphique : les courbes de $\exp$ et $\ln$ sont symétriques par rapport à la droite d'équation $y=x$ .

Propriétés algébriques

Pour tous réels $a,b>0$ et tout entier $n$ :

\ln(ab) = \ln(a)+\ln(b) \qquad \ln\left(\dfrac{a}{b}\right) = \ln(a)-\ln(b) \qquad \ln\left(\dfrac{1}{a}\right) = -\ln(a) \qquad \ln(a^n) = n\ln(a) \qquad \ln(\sqrt{a}) = \dfrac{1}{2}\ln(a)

Exemple : $\ln(8) = \ln(2^3) = 3\ln(2)$ .

Équations et inéquations avec le logarithme

Comme $\ln$ est strictement croissante sur $]0;+\infty[$ (donc injective), pour tous réels $a,b>0$ :

\ln(a)=\ln(b) \iff a=b \qquad\qquad \ln(a)<\ln(b) \iff a<b

Attention : le logarithme n'est défini que pour des nombres strictement positifs. Avant de résoudre toute équation avec $\ln$ , il faut toujours vérifier le domaine de validité.

Exemple : résoudre $\ln(x+1) = \ln(5)$ nécessite $x+1>0$ , soit $x>-1$ ; sous cette condition, l'équation équivaut à $x+1=5$ , soit $x=4$ (qui vérifie bien $x>-1$ ).

Exercices de la leçon

Exercice 1

Quelle est la valeur de $\ln(1)$ ?

Corrigé

Comme $e^0=1$ , on a $\ln(1)=0$ par définition de la réciproque de l'exponentielle.

Exercice 2

Le logarithme népérien est défini pour tous les nombres réels, y compris les négatifs.

Corrigé

La fonction $\ln$ n'est définie que sur $]0;+\infty[$ , c'est-à-dire uniquement pour les réels strictement positifs.

Exercice 3

Simplifie l'expression $B = \ln(12) - \ln(3)$ .

Corrigé

On applique la règle de transformation d'une différence de logarithmes en logarithme d'un quotient, puis on simplifie en utilisant $4=2^2$ .

Exercice 4

Résous l'équation $\ln(2x-3) = \ln(7)$ , en vérifiant les conditions de validité.

Corrigé

On commence toujours par poser la condition d'existence du logarithme avant de résoudre, puis on utilise l'injectivité de $\ln$ pour transformer l'équation, et on vérifie enfin que la solution respecte la condition initiale.

Exercice 5

Pour quelles valeurs de $x$ l'expression $\ln(5-x)$ est-elle définie ?

Corrigé

Il faut que l'argument du logarithme soit strictement positif : $5-x>0 \iff x<5$ .

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