Dérivée et variations du logarithme

Dérivée de la fonction logarithme

Propriété : la fonction $\ln$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ et :

$\ln'(x) = \dfrac{1}{x}$

Comme $\dfrac{1}{x}>0$ pour tout $x>0$ , la fonction $\ln$ est strictement croissante sur $]0;+\infty[$ .

Dérivée de $\ln(u(x))$

Formule : pour $u(x)>0$ , $\left(\ln(u(x))\right)' = \dfrac{u'(x)}{u(x)}$

Exemple : $f(x) = \ln(2x+5)$ , définie pour $2x+5>0$ soit $x>-\dfrac{5}{2}$ . On pose $u(x)=2x+5$ , $u'(x)=2$ :

f'(x) = \dfrac{2}{2x+5}

Limites usuelles du logarithme

\lim_{x\to+\infty} \ln(x) = +\infty \qquad\qquad \lim_{x\to 0^+} \ln(x) = -\infty

La droite $x=0$ est donc asymptote verticale à la courbe de $\ln$ .

Croissances comparées avec le logarithme (admis) :

$\lim_{x\to+\infty} \dfrac{\ln(x)}{x} = 0 \qquad\qquad \lim_{x\to0^+} x\ln(x) = 0$

Cela signifie que $\ln(x)$ "perd" toujours face à $x$ : même si $\ln(x)\to+\infty$ , il le fait beaucoup plus lentement que $x$ lui-même.

Tableau de variations de $\ln$

x

0

+\infty

|---|---|---|---|

$\ln'(x)=\frac1x$		$+$
$\ln(x)$	$-\infty$	$\nearrow$	$+\infty$

Exercices de la leçon

Exercice 1

Quelle est la dérivée de la fonction $\ln$ sur $]0;+\infty[$ ?

Corrigé

C'est la propriété fondamentale : $\ln'(x) = \dfrac{1}{x}$ pour tout $x>0$ .

Exercice 2

La limite de $\ln(x)$ quand $x \to 0^+$ est $-\infty$ .

Corrigé

C'est une limite usuelle : quand $x$ se rapproche de $0$ par valeurs positives, $\ln(x)$ tend vers $-\infty$ , donnant l'asymptote verticale $x=0$ .

Exercice 3

Calcule la dérivée de $f(x) = \ln(3x-1)$ et précise son ensemble de définition.

Corrigé

On vérifie d'abord le domaine de définition du logarithme, puis on applique la formule de dérivation de la composée avec $u(x)=3x-1$ .

Exercice 4

Soit $f(x) = x - \ln(x)$ sur $]0;+\infty[$ . Calcule $f'(x)$ , étudie son signe et dresse le tableau de variations de $f$ .

Corrigé

On met la dérivée au même dénominateur pour faciliter l'étude du signe, on en déduit les variations, puis on calcule la valeur exacte du minimum et les limites en utilisant les croissances comparées.

Exercice 5

Quelle est la limite de $\dfrac{\ln(x)}{x}$ quand $x \to +\infty$ ?

Corrigé

D'après le théorème des croissances comparées, $\ln(x)$ croît beaucoup plus lentement que $x$ , donc $\lim_{x\to+\infty}\dfrac{\ln(x)}{x}=0$ .

AlphaMath Académie · Dérivée et variations du logarithme · Fonction logarithme népérien

Dérivée et variations du logarithme

Dérivée de la fonction logarithme

Dérivée de ln⁡(u(x))\ln(u(x))ln(u(x))

Limites usuelles du logarithme

Tableau de variations de ln⁡\lnln

Exercices de la leçon

Dérivée de $\ln(u(x))$

Tableau de variations de $\ln$