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Terminale · Fonction logarithme népérien

Équations, inéquations et applications

Résoudre des équations avec exponentielle et logarithme

Passer de ln⁡\ln à exp⁡\exp

Pour résoudre une équation du type ln⁡(x)=k\ln(x) = k (avec kk un réel donné), on applique l'exponentielle aux deux membres :

ln⁡(x)=k  ⟺  x=ek\ln(x) = k \iff x = e^k

Exemple : ln⁡(x)=2  ⟺  x=e2\ln(x) = 2 \iff x = e^2.

Passer de exp⁡\exp à ln⁡\ln

Pour résoudre une équation du type ex=ke^x = k (avec k>0k>0), on applique le logarithme aux deux membres :

ex=k  ⟺  x=ln⁡(k)(k>0)e^x = k \iff x = \ln(k) \quad (k>0)

Exemple : ex=5  ⟺  x=ln⁡(5)e^x = 5 \iff x = \ln(5). Si k⩽0k \leqslant 0, l'équation ex=ke^x=k n'a aucune solution car ex>0e^x>0 toujours.

Méthode générale pour une équation mêlant les deux

1. Identifier le domaine de validité (arguments des ln⁡\ln strictement positifs).
2. Isoler le terme en ln⁡\ln ou en exp⁡\exp.
3. Appliquer exp⁡\exp ou ln⁡\ln selon le cas pour "défaire" la fonction.
4. Résoudre l'équation résultante, puis vérifier que la solution appartient au domaine de validité.

Exemple complet : résoudre 2ln⁡(x)−3=12\ln(x) - 3 = 1 sur ]0;+∞[]0;+\infty[.

2ln⁡(x)=4  ⟹  ln⁡(x)=2  ⟹  x=e22\ln(x) = 4 \implies \ln(x) = 2 \implies x = e^2

Comme e2>0e^2 > 0, cette solution est valide.

Application : modélisation et croissance

Le couple exponentielle/logarithme intervient naturellement dans les modèles de croissance ou décroissance (population, désintégration radioactive, refroidissement). Une équation de la forme ekt=ce^{kt} = c se résout en isolant t=ln⁡(c)kt = \dfrac{\ln(c)}{k}, ce qui permet par exemple de déterminer un "temps caractéristique" (demi-vie, doublement, etc.).

Exercices de la leçon

Exercice 1

L'équation ex=−3e^x = -3 admet :

Corrigé

Comme ex>0e^x>0 pour tout réel xx, l'équation ex=−3e^x=-3 n'a aucune solution (un nombre négatif ne peut jamais être atteint par l'exponentielle).

Exercice 2

L'équation ln⁡(x)=3\ln(x) = 3 équivaut à x=e3x = e^3.

Corrigé

En appliquant l'exponentielle aux deux membres de ln⁡(x)=3\ln(x)=3, on obtient x=e3x=e^3 (et e3>0e^3>0, donc cette solution est valide).

Exercice 3

Résous l'équation 3ex−1=53e^x - 1 = 5.

Corrigé

On isole d'abord l'exponentielle, puis on applique le logarithme népérien (la réciproque de l'exponentielle) pour résoudre, en vérifiant que le second membre est strictement positif.

Exercice 4

Une quantité de substance radioactive suit la loi N(t)=N0e−0,1tN(t) = N_0 e^{-0{,}1t} où tt est le temps en années. Déterminer la demi-vie TT de la substance, c'est-à-dire la valeur de tt pour laquelle N(t)=N02N(t) = \dfrac{N_0}{2}.

Corrigé

On isole le terme exponentiel, on applique le logarithme népérien en utilisant ln⁡(1/2)=−ln⁡(2)\ln(1/2)=-\ln(2), puis on résout l'équation affine en TT pour obtenir la demi-vie exacte puis sa valeur approchée.

Exercice 5

Résous l'équation ln⁡(x+2)+ln⁡(x−1)=ln⁡(4)\ln(x+2) + \ln(x-1) = \ln(4) sur son domaine de validité.

Corrigé

Domaine : x>−2x>-2 et x>1x>1, donc x>1x>1. On regroupe : ln⁡((x+2)(x−1))=ln⁡(4)  ⟺  x2+x−2=4  ⟺  x2+x−6=0\ln((x+2)(x-1))=\ln(4) \iff x^2+x-2=4 \iff x^2+x-6=0, qui a pour solutions x=2x=2 et x=−3x=-3. Seul x=2x=2 vérifie x>1x>1.

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