Fonctions affines

Une fonction $f$ est affine si elle s'écrit :

f(x) = ax + b

où $a$ et $b$ sont des nombres fixés. Une fonction linéaire est un cas particulier de fonction affine, avec $b = 0$ .

Représentation graphique

La représentation graphique d'une fonction affine est une droite :
- $a$ est le coefficient directeur (la pente de la droite) ;
- $b$ est l'ordonnée à l'origine (la valeur de $f(0)$ , où la droite coupe l'axe des ordonnées).

Lire le coefficient directeur

a = \frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1}

Exemple : $f(x) = 2x + 1$ . On a $f(0) = 1$ (ordonnée à l'origine) et $f(1) = 3$ , donc la droite "monte" de $2$ quand $x$ augmente de $1$ : $a = 2$ .

Sens de variation

Si $a > 0$ , la fonction est croissante (la droite monte). Si $a < 0$ , elle est décroissante (la droite descend).

Exercices de la leçon

Exercice 1

$f(x) = 4x - 7$ . Quel est le coefficient directeur ?

Corrigé

Dans $f(x) = ax + b$ , le coefficient directeur est $a$ : ici $a = 4$ .

Exercice 2

$f(x) = -3x + 5$ . Que vaut l'ordonnée à l'origine ?

Corrigé

L'ordonnée à l'origine est $b$ , la valeur de $f(0)$ : ici $b = 5$ .

Exercice 3

Si le coefficient directeur $a$ est négatif, la fonction affine est croissante.

Corrigé

Un coefficient directeur négatif correspond à une fonction décroissante (la droite descend), pas croissante.

Exercice 4

Une droite passe par les points $(0, 2)$ et $(3, 11)$ . Quel est son coefficient directeur ?

Corrigé

$a = \frac{11-2}{3-0} = \frac{9}{3} = 3$ .

Exercice 5

Une fonction affine $f$ vérifie $f(1) = 7$ et $f(4) = 16$ . Détermine l'expression de $f(x) = ax+b$ .

Corrigé

On calcule $a$ avec la formule du taux de variation entre deux points connus, puis on en déduit $b$ en remplaçant dans l'une des deux égalités.

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