Fonctions linéaires

Une fonction $f$ est linéaire si elle s'écrit sous la forme :

f(x) = ax

où $a$ est un nombre fixé, appelé coefficient.

Propriétés

- $f(0) = 0$ : la fonction linéaire prend toujours la valeur $0$ en $0$ .
- Sa représentation graphique est une droite passant par l'origine du repère.
- Une fonction linéaire modélise une situation de proportionnalité : $a$ est le coefficient de proportionnalité.

Exemple

$f(x) = 3x$ représente par exemple le prix de $x$ kg de pommes à $3$ €/kg.

f(2) = 6 \qquad f(5) = 15

Représentation graphique

Pour tracer la droite représentant $f(x) = ax$ , il suffit de connaître un seul point différent de l'origine (en plus de l'origine $(0,0)$ ).

Exercices de la leçon

Exercice 1

Quelle est la forme générale d'une fonction linéaire ?

Corrigé

Une fonction linéaire s'écrit toujours $f(x)=ax$ , sans terme constant ajouté.

Exercice 2

$f(x) = 5x$ . Que vaut $f(0)$ ?

Corrigé

Pour toute fonction linéaire, $f(0) = a \times 0 = 0$ .

Exercice 3

La représentation graphique d'une fonction linéaire passe toujours par l'origine du repère.

Corrigé

Puisque $f(0) = 0$ pour toute fonction linéaire, le point $(0,0)$ appartient toujours à sa représentation graphique.

Exercice 4

$f(x) = ax$ et $f(4) = 20$ . Quel est le coefficient $a$ ?

Corrigé

$f(4) = a \times 4 = 20 \implies a = \frac{20}{4} = 5$ .

Exercice 5

Une fonction linéaire $f$ vérifie $f(6) = -18$ . Détermine son expression $f(x) = ax$ , puis calcule $f(-2)$ .

Corrigé

On utilise la valeur connue pour déterminer le coefficient $a$ , puis on applique la fonction obtenue à la nouvelle valeur.

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