La fonction affine

Définition

Une fonction $f$ est affine si elle s'écrit sous la forme :

f(x) = ax+b

où $a$ et $b$ sont deux réels fixés. $a$ est le coefficient directeur et $b$ est l'ordonnée à l'origine.

Représentation graphique

La courbe représentative d'une fonction affine est une droite, entièrement déterminée par :
- son ordonnée à l'origine $b$ (le point $(0\ ;\ b)$ ) ;
- son coefficient directeur $a$ , qui indique la "pente" : quand $x$ augmente de $1$ , $f(x)$ varie de $a$ .

a = \dfrac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}

Sens de variation

Signe de

a

Sens de variation de

f

|---|---|

$a > 0$	croissante
$a < 0$	décroissante
$a = 0$	constante ( $f(x)=b$ )

Cas particuliers

- Si $b=0$ , $f(x)=ax$ est une fonction linéaire : sa droite passe par l'origine.
- Si $a=0$ , $f(x)=b$ est une fonction constante : sa droite est horizontale.

Exemple : $f(x) = -2x+3$ est décroissante (car $a=-2<0$ ), et sa droite coupe l'axe des ordonnées en $(0\ ;\ 3)$ .

Exercices de la leçon

Exercice 1

Dans $f(x) = 5x - 2$ , quel est le coefficient directeur ?

Corrigé

Dans $f(x)=ax+b$ , le coefficient directeur est $a$ : ici $a=5$ .

Exercice 2

Si $a < 0$ dans $f(x)=ax+b$ , la fonction $f$ est :

Corrigé

Un coefficient directeur négatif correspond à une droite qui descend, donc à une fonction décroissante.

Exercice 3

Une fonction linéaire est un cas particulier de fonction affine où $b=0$ .

Corrigé

Une fonction linéaire $f(x)=ax$ correspond bien à une fonction affine $f(x)=ax+b$ dans le cas particulier où $b=0$ .

Exercice 4

Une droite passe par les points $(1\ ;\ 4)$ et $(3\ ;\ 10)$ . Quel est son coefficient directeur ?

Corrigé

$a = \dfrac{10-4}{3-1} = \dfrac{6}{2} = 3$ .

Exercice 5

Une fonction affine $f$ vérifie $f(2)=1$ et $f(5)=10$ . Détermine l'expression de $f(x)=ax+b$ , puis calcule $f(0)$ .

Corrigé

On détermine $a$ avec le taux de variation entre deux points connus, puis $b$ en substituant dans une des deux égalités ; $f(0)$ correspond directement à l'ordonnée à l'origine $b$ .

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