La fonction carré

Définition

La fonction carré est définie sur $\mathbb{R}$ par :

f(x) = x^2

Représentation graphique : la parabole

La courbe représentative de la fonction carré est une parabole, symétrique par rapport à l'axe des ordonnées (l'axe $x=0$ ), avec un sommet à l'origine $(0\ ;\ 0)$ .

Propriété de symétrie : pour tout réel $x$ , $f(-x) = (-x)^2 = x^2 = f(x)$ . Deux nombres opposés ont la même image.

Tableau de variations

x

-\infty

0

+\infty

|---|---|---|---|---|---|

Variations de

f

↘

0

↗

La fonction carré est décroissante sur $]-\infty\ ;\ 0]$ et croissante sur $[0\ ;\ +\infty[$ . Elle admet un minimum égal à

0

, atteint en

x=0

Comparer des carrés

Attention : pour $a$ et $b$ de même signe, $a < b \implies a^2$ et $b^2$ ne sont pas nécessairement dans le même ordre que $a$ et $b$ !

Exemple : $-3 < -1$ mais $(-3)^2 = 9 > (-1)^2 = 1$ (car la fonction carré est décroissante sur les négatifs).

Sur $[0\ ;\ +\infty[$ en revanche, la fonction carré conserve l'ordre : $0 \leqslant a < b \implies a^2 < b^2$ .

Exercices de la leçon

Exercice 1

Quelle est l'image de $-4$ par la fonction carré ?

Corrigé

$f(-4) = (-4)^2 = 16$ . Le carré d'un nombre est toujours positif ou nul.

Exercice 2

La fonction carré est décroissante sur :

Corrigé

La parabole descend pour $x$ allant de $-\infty$ à $0$ , puis remonte : la fonction carré est décroissante sur $]-\infty\ ;\ 0]$ et croissante sur $[0\ ;\ +\infty[$ .

Exercice 3

Pour tous réels $a$ et $b$ tels que $a<b$ , on a toujours $a^2 < b^2$ .

Corrigé

C'est faux en général : par exemple $-5 < 2$ mais $(-5)^2=25 > 2^2=4$ . La conservation de l'ordre par le carré n'est garantie que sur $[0\ ;\ +\infty[$ (ou en valeur absolue).

Exercice 4

La parabole représentant la fonction carré est symétrique par rapport à :

Corrigé

Puisque $f(-x)=f(x)$ pour tout $x$ , la parabole est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées (axe vertical $x=0$ ).

Exercice 5

Range dans l'ordre croissant les images par la fonction carré des nombres $-5$ , $2$ , $-1$ et $4$ .

Corrigé

Comme la fonction carré n'est pas monotone sur $\mathbb{R}$ entier, il faut calculer chaque image séparément avant de pouvoir les comparer, plutôt que de se fier à l'ordre des valeurs de départ.

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