Les fonctions inverse et racine carrée

Quel est l'ensemble de définition de la fonction inverse $f(x) = \dfrac{1}{x}$ ?

La fonction inverse n'est pas définie en $0$ (division par $0$ impossible) : son ensemble de définition est $\mathbb{R}\setminus\{0\}$.

Quel est l'ensemble de définition de la fonction racine carrée ?

La racine carrée n'est définie que pour des nombres positifs ou nuls : $D_f = [0\ ;\ +\infty[$.

La fonction inverse est décroissante sur l'ensemble $\mathbb{R}\setminus\{0\}$ tout entier.

La fonction inverse est décroissante séparément sur $]-\infty\ ;\ 0[$ et sur $]0\ ;\ +\infty[$, mais pas sur la réunion des deux intervalles : par exemple $f(-1)=-1 < f(1)=1$, alors que $-1<1$, ce qui contredirait la décroissance globale.

Sachant que $3 < 7$, que peut-on dire de $\sqrt{3}$ et $\sqrt{7}$ ?

La fonction racine carrée est croissante sur $[0\ ;\ +\infty[$ : elle conserve donc l'ordre, donc $3<7 \implies \sqrt{3}<\sqrt{7}$.

Compare $\dfrac{1}{5}$ et $\dfrac{1}{2}$ en justifiant à l'aide du sens de variation de la fonction inverse, sachant que $5$ et $2$ sont tous deux strictement positifs.

Sur $]0\ ;\ +\infty[$, la fonction inverse est décroissante : elle inverse donc l'ordre des nombres comparés, contrairement à une fonction croissante qui le conserve.