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6ème · Les Fractions

Comparer et ordonner les fractions

Introduction

Lequel est plus grand : 34\frac{3}{4} ou 56\frac{5}{6} ? Pour comparer des fractions, on utilise plusieurs techniques selon les cas.

Cas 1 — Même dénominateur

Si deux fractions ont le même dénominateur, on compare directement les numérateurs.

38<58car3<5\frac{3}{8} < \frac{5}{8} \quad \text{car} \quad 3 < 5

Cas 2 — Dénominateurs différents

📌 Méthode — Réduire au même dénominateur

1. Trouver le PPCM des dénominateurs (plus petit commun multiple).

2. Transformer chaque fraction en fraction équivalente avec ce dénominateur.

3. Comparer les numérateurs.

Exemple : Comparer 34\frac{3}{4} et 56\frac{5}{6}

PPCM(4,6)=12\text{PPCM}(4, 6) = 12

34=91256=1012\frac{3}{4} = \frac{9}{12} \qquad \frac{5}{6} = \frac{10}{12}

9<10  ⟹  34<569 < 10 \implies \frac{3}{4} < \frac{5}{6}

Comparer avec des repères

Repères utiles : 00, 12\frac{1}{2}, 11

23>12car23=46>36=12\frac{2}{3} > \frac{1}{2} \quad \text{car} \quad \frac{2}{3} = \frac{4}{6} > \frac{3}{6} = \frac{1}{2}

Exemples

✅ Exemple simple — Même dénominateur

712\frac{7}{12} et 512\frac{5}{12} : 7>57 > 5 donc 712>512\frac{7}{12} > \frac{5}{12}.

📘 Exemple intermédiaire — Comparer 23\frac{2}{3} et 35\frac{3}{5}

PPCM(3,5)=15\text{PPCM}(3,5) = 15

23=1015;35=915\frac{2}{3} = \frac{10}{15} \quad ; \quad \frac{3}{5} = \frac{9}{15}

10>9  ⟹  23>3510 > 9 \implies \boxed{\frac{2}{3} > \frac{3}{5}}

🔴 Exemple avancé — Ordonner 4 fractions

Ordonner : 12\frac{1}{2}, 23\frac{2}{3}, 34\frac{3}{4}, 56\frac{5}{6}

PPCM(2,3,4,6)=12\text{PPCM}(2,3,4,6) = 12

6128129121012\frac{6}{12} \quad \frac{8}{12} \quad \frac{9}{12} \quad \frac{10}{12}

12<23<34<56\boxed{\frac{1}{2} < \frac{2}{3} < \frac{3}{4} < \frac{5}{6}}

À retenir

- Même dénominateur → comparer les numérateurs directement
- Dénominateurs différents → réduire au même dénominateur (PPCM)
- Utiliser 12\frac{1}{2} comme repère pour localiser rapidement une fraction

Exercices de la leçon

Exercice 1

Laquelle de ces fractions est la plus grande ?

Corrigé

Même dénominateur (1111) : on compare les numérateurs 33, 77, 55, 22. Le plus grand est 7\mathbf{7}, donc 711\frac{7}{11} est la plus grande.

Exercice 2

23>12\frac{2}{3} > \frac{1}{2}

Corrigé

PPCM(3,2)=6\text{PPCM}(3,2) = 6 : 23=46\frac{2}{3} = \frac{4}{6} et 12=36\frac{1}{2} = \frac{3}{6}. Puisque 4>34 > 3, on a 23>12\frac{2}{3} > \frac{1}{2}. Vrai.

Exercice 3

Comparer 34\frac{3}{4} et 56\frac{5}{6}.

Corrigé

PPCM(4,6)=12\text{PPCM}(4,6) = 12. 34=912\frac{3}{4} = \frac{9}{12} et 56=1012\frac{5}{6} = \frac{10}{12}. Puisque 9<109 < 10, on a 34<56\frac{3}{4} < \frac{5}{6}.

Exercice 4

Ranger dans l'ordre croissant : 12\frac{1}{2}, 23\frac{2}{3}, 34\frac{3}{4}, 56\frac{5}{6}.

Corrigé

PPCM = 12. Numérateurs : 6, 8, 9, 10 → ordre croissant.

Exercice 5

Ordonner : 712\frac{7}{12}, 58\frac{5}{8}, 23\frac{2}{3}.

Corrigé

PPCM(12,8,3)=24\text{PPCM}(12,8,3) = 24. 712=1424\frac{7}{12} = \frac{14}{24}, 58=1524\frac{5}{8} = \frac{15}{24}, 23=1624\frac{2}{3} = \frac{16}{24}. Ordre : 14<15<1614 < 15 < 16 donc 712<58<23\frac{7}{12} < \frac{5}{8} < \frac{2}{3}. Attention à l'option A : elle dit 712<23<58\frac{7}{12} < \frac{2}{3} < \frac{5}{8}, ce n'est pas l'ordre correct. La bonne réponse est 712<58<23\frac{7}{12} < \frac{5}{8} < \frac{2}{3}.

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