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6ème · Les Fractions

Qu'est-ce qu'une fraction ?

Introduction

Une fraction représente une partie d'un tout. Si on coupe une pizza en 4 parts égales et qu'on en mange 3, on a mangé 34\frac{3}{4} de la pizza.

Vocabulaire essentiel

3⏞numeˊrateur4⏟deˊnominateur\frac{\overbrace{3}^{\text{numérateur}}}{\underbrace{4}_{\text{dénominateur}}}

- Numérateur (en haut) : nombre de parts prises
- Dénominateur (en bas) : nombre de parts totales

⚠️ Le dénominateur ne peut jamais être nul !

Fractions équivalentes

Deux fractions sont équivalentes si elles représentent la même quantité :

12=24=36=48\frac{1}{2} = \frac{2}{4} = \frac{3}{6} = \frac{4}{8}

📌 Méthode — Trouver une fraction équivalente

Multiplier (ou diviser) le numérateur et le dénominateur par le même entier non nul.

23→×481269→÷323\frac{2}{3} \xrightarrow{\times 4} \frac{8}{12} \qquad \frac{6}{9} \xrightarrow{\div 3} \frac{2}{3}

Simplifier une fraction

📌 Méthode — Simplifier

Diviser le numérateur et le dénominateur par leur PGCD (Plus Grand Commun Diviseur).

3648→÷1234car  PGCD(36,48)=12\frac{36}{48} \xrightarrow{\div 12} \frac{3}{4} \quad \text{car}\; \text{PGCD}(36, 48) = 12

Exemples

✅ Exemple simple — Lire une fraction

38\frac{3}{8} → trois huitièmes → 3 parties sur 8 parts égales.

📘 Exemple intermédiaire — Fractions équivalentes

Montrer que 46=23\frac{4}{6} = \frac{2}{3} :

46→÷223✓\frac{4}{6} \xrightarrow{\div 2} \frac{2}{3} \checkmark

Ou montrer que 23=1015\frac{2}{3} = \frac{10}{15} :

23→×51015✓\frac{2}{3} \xrightarrow{\times 5} \frac{10}{15} \checkmark

🔴 Exemple avancé — Simplifier 3648\frac{36}{48}

Étape 1 — PGCD(36, 48) :
- 36=22×3236 = 2^2 \times 3^2
- 48=24×348 = 2^4 \times 3
- PGCD=22×3=12\text{PGCD} = 2^2 \times 3 = 12

Étape 2 :

3648=36÷1248÷12=34\frac{36}{48} = \frac{36 \div 12}{48 \div 12} = \frac{3}{4}

3648=34\boxed{\frac{36}{48} = \frac{3}{4}}

À retenir

- Numérateur = parts prises | Dénominateur = parts totales
- On obtient une fraction équivalente en × ou ÷ par le même nombre
- La fraction est irréductible quand on ne peut plus la simplifier

Exercices de la leçon

Exercice 1

Dans la fraction 59\frac{5}{9}, quel est le dénominateur ?

Corrigé

Dans 59\frac{5}{9} : 55 est le numérateur (en haut) et 9\mathbf{9} est le dénominateur (en bas). Le dénominateur indique le nombre de parties égales en tout.

Exercice 2

12=24\frac{1}{2} = \frac{2}{4}

Corrigé

12→×224\frac{1}{2} \xrightarrow{\times 2} \frac{2}{4}. En multipliant numérateur et dénominateur par 22, on obtient une fraction équivalente. Vrai.

Exercice 3

Laquelle de ces fractions est équivalente à 34\frac{3}{4} ?

Corrigé

34→×3912\frac{3}{4} \xrightarrow{\times 3} \frac{9}{12}. Vérif : 912÷3=34\frac{9}{12} \div 3 = \frac{3}{4}. Les autres : 67\frac{6}{7} (numérateur ×2\times 2, dénom ×7/4\times 7/4 ≠ entier), 69=23≠34\frac{6}{9} = \frac{2}{3} \neq \frac{3}{4}.

Exercice 4

Donne trois fractions équivalentes à 25\frac{2}{5}.

Corrigé

En multipliant par 2, 3, 4 : 410\frac{4}{10}, 615\frac{6}{15}, 820\frac{8}{20}.

Exercice 5

Quelle est la forme simplifiée de 3648\frac{36}{48} ?

Corrigé

PGCD(36,48)=12\text{PGCD}(36, 48) = 12. Donc 3648=36÷1248÷12=34\frac{36}{48} = \frac{36 \div 12}{48 \div 12} = \frac{3}{4}. C'est la forme irréductible car PGCD(3,4)=1\text{PGCD}(3, 4) = 1.

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