Sens de variation et tableau de variations

Fonction croissante, décroissante

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ .

- $f$ est croissante sur $I$ si, pour tous $a, b \in I$ avec $a < b$ , on a $f(a) \leqslant f(b)$ : quand $x$ augmente, $f(x)$ augmente (ou reste constant).
- $f$ est décroissante sur $I$ si, pour tous $a, b \in I$ avec $a<b$ , on a $f(a) \geqslant f(b)$ : quand $x$ augmente, $f(x)$ diminue (ou reste constant).

Image mentale : une fonction croissante "monte" en se déplaçant vers la droite ; une fonction décroissante "descend".

Le tableau de variations

Le tableau de variations résume, sur des intervalles successifs, si la fonction est croissante (flèche montante ↗) ou décroissante (flèche descendante ↘).

Exemple : pour une fonction $f$ définie sur $[-3\ ;\ 5]$ , décroissante sur $[-3\ ;\ 1]$ puis croissante sur $[1\ ;\ 5]$ :

x

-3

1

5

|---|---|---|---|---|---|

Variations de

f

↘

↗

Maximum et minimum

- $f$ admet un maximum $M$ en $x_0$ sur $I$ si $f(x_0) = M$ et $f(x) \leqslant M$ pour tout $x \in I$ .
- $f$ admet un minimum $m$ en $x_0$ sur $I$ si $f(x_0) = m$ et $f(x) \geqslant m$ pour tout $x \in I$ .

Dans le tableau de variations, le maximum ou minimum local correspond à la valeur de $f(x_0)$ inscrite au sommet ou au creux d'une flèche (changement de sens de variation).

Exercices de la leçon

Exercice 1

Une fonction $f$ est croissante sur $I$ si, pour $a<b$ dans $I$ :

Corrigé

Une fonction croissante conserve l'ordre : si $a<b$ alors $f(a) \leqslant f(b)$ , c'est-à-dire que $f(x)$ augmente quand $x$ augmente.

Exercice 2

Dans un tableau de variations, une flèche descendante (↘) indique que la fonction est :

Corrigé

Une flèche qui descend dans un tableau de variations symbolise une fonction décroissante sur l'intervalle considéré.

Exercice 3

Une fonction peut être croissante sur un intervalle et décroissante sur un autre intervalle de son ensemble de définition.

Corrigé

C'est très courant : par exemple la fonction carré est décroissante sur $]-\infty\ ;\ 0]$ puis croissante sur $[0\ ;\ +\infty[$ . Le sens de variation s'étudie toujours sur un intervalle donné.

Exercice 4

Une fonction $f$ admet un minimum $m=-3$ en $x_0=2$ sur $I$ . Que peut-on dire de $f(x)$ pour tout $x \in I$ ?

Corrigé

Par définition d'un minimum, $f(x_0)=m=-3$ est la plus petite valeur prise par $f$ sur $I$ : donc $f(x) \geqslant -3$ pour tout $x$ de $I$ .

Exercice 5

Une fonction $f$ est définie sur $[-4\ ;\ 6]$ . Elle est croissante sur $[-4\ ;\ -1]$ , décroissante sur $[-1\ ;\ 3]$ , puis croissante sur $[3\ ;\ 6]$ . On donne $f(-4)=-2$ , $f(-1)=5$ , $f(3)=1$ et $f(6)=4$ . Dresse le tableau de variations de $f$ et donne le maximum de $f$ sur $[-4\ ;\ 6]$ .

Corrigé

Le tableau de variations résume tous les changements de sens de variation. Le maximum global correspond à la plus grande valeur parmi les sommets locaux et les bornes de l'intervalle.

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