Vocabulaire et ensemble de définition

Notion de fonction

Une fonction $f$ associe à un nombre $x$ un unique nombre noté $f(x)$ , appelé image de $x$ par $f$ . On note :

f : x \mapsto f(x)

Si $f(x) = y$ , on dit que $y$ est l'image de $x$ , et que $x$ est un antécédent de $y$ .

Remarque : un nombre a toujours une seule image, mais peut avoir zéro, un, ou plusieurs antécédents.

Ensemble de définition

L'ensemble de définition $D_f$ d'une fonction $f$ est l'ensemble des valeurs de $x$ pour lesquelles $f(x)$ existe (peut être calculée).

Exemples classiques de restrictions :
- Pour $f(x) = \dfrac{1}{x-3}$ , il faut $x - 3 \neq 0$ , donc $D_f = \mathbb{R} \setminus \{3\}$ .
- Pour $f(x) = \sqrt{x-2}$ , il faut $x-2 \geqslant 0$ , donc $D_f = [2\ ;\ +\infty[$ .
- Pour $f(x) = 3x^2-5x+1$ , aucune restriction : $D_f = \mathbb{R}$ .

La courbe représentative

La courbe représentative $\mathcal{C}_f$ d'une fonction $f$ est l'ensemble des points de coordonnées $(x\ ;\ f(x))$ pour $x \in D_f$ .

Point clé : dire que le point $M(a\ ;\ b)$ appartient à $\mathcal{C}_f$ équivaut à dire que $f(a) = b$ , c'est-à-dire que $b$ est l'image de $a$ par $f$ .

Exercices de la leçon

Exercice 1

Si $f(5) = 12$ , alors :

Corrigé

$f(5)=12$ signifie que l'image de $5$ par $f$ est $12$ , et que $5$ est un antécédent de $12$ .

Exercice 2

Quel est l'ensemble de définition de $f(x) = \dfrac{1}{x+4}$ ?

Corrigé

Il faut que le dénominateur soit non nul : $x+4 \neq 0 \implies x \neq -4$ . Donc $D_f = \mathbb{R}\setminus\{-4\}$ .

Exercice 3

Un nombre peut avoir plusieurs antécédents par une même fonction.

Corrigé

Contrairement à l'image (toujours unique), un nombre peut avoir plusieurs antécédents : par exemple pour $f(x)=x^2$ , le nombre $9$ a deux antécédents, $3$ et $-3$ .

Exercice 4

Quel est l'ensemble de définition de $g(x) = \sqrt{5-x}$ ?

Corrigé

Il faut que l'expression sous la racine soit positive ou nulle : $5-x \geqslant 0 \implies x \leqslant 5$ . Donc $D_g=\ ]-\infty\ ;\ 5]$ .

Exercice 5

Soit $f(x) = \dfrac{2x-1}{x-3}$ . Détermine l'ensemble de définition $D_f$ , puis calcule $f(1)$ et trouve l'antécédent de $5$ par $f$ .

Corrigé

On détermine d'abord les valeurs interdites pour l'ensemble de définition, puis on distingue le calcul d'une image (substitution directe) de la recherche d'un antécédent (résolution d'équation).

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