Agrandissement, réduction et effet sur les volumes

Effet d'un agrandissement/réduction sur les solides

Lorsqu'on agrandit ou réduit un solide selon un coefficient $k$ :

Grandeur

Coefficient

|---|---|

Longueurs	$\times k$
Aires	$\times k^2$
Volumes	$\times k^3$

Si $k > 1$ : agrandissement. Si $0 < k < 1$ : réduction.

Exemple

Une sphère de rayon $r=3$ cm est agrandie avec un coefficient $k=2$ .

- Nouveau rayon : $3 \times 2 = 6$ cm
- Le volume initial était $V_1 = \dfrac{4}{3}\pi \times 3^3 = 36\pi \text{ cm}^3$
- Le nouveau volume : $V_2 = V_1 \times k^3 = 36\pi \times 8 = 288\pi \text{ cm}^3$

On peut vérifier : $V_2 = \dfrac{4}{3}\pi \times 6^3 = \dfrac{4}{3}\pi \times 216 = 288\pi$ cm³. ✓

Exercices de la leçon

Exercice 1

Si on agrandit un solide avec un coefficient $k$ , par quel facteur le volume est-il multiplié ?

Corrigé

Le volume, étant une grandeur à 3 dimensions, est multiplié par $k^3$ lors d'un agrandissement/réduction de coefficient $k$ .

Exercice 2

Vrai ou faux : un coefficient de réduction $k$ vérifie toujours $k > 1$ .

Corrigé

Faux : une réduction correspond à $0 < k < 1$ . Un coefficient $k>1$ correspond à un agrandissement.

Exercice 3

Un cube a un volume de $8 \text{ cm}^3$ . On l'agrandit avec un coefficient $k=3$ . Quel est le nouveau volume ?

Corrigé

Le volume est multiplié par $k^3 = 27$ : $8 \times 27 = 216 \text{ cm}^3$ .

Exercice 4

Une boule de rayon $5$ cm est réduite avec un coefficient $k=0{,}4$ . Calcule le rayon et le volume de la boule réduite (valeur exacte).

Corrigé

On peut calculer le nouveau volume soit directement avec le nouveau rayon, soit en multipliant l'ancien volume par $k^3$ — les deux méthodes doivent donner le même résultat.

Exercice 5

Deux boules semblables ont des volumes $V_1 = 27 \text{ cm}^3$ et $V_2 = 216 \text{ cm}^3$ . Quel est le coefficient d'agrandissement entre la première et la seconde ? En déduire le rapport de leurs rayons.

Corrigé

Pour retrouver le coefficient linéaire $k$ à partir d'un rapport de volumes, on calcule la racine cubique du rapport des volumes, car $\dfrac{V_2}{V_1}=k^3$ .

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