La sphère et la boule

Définitions

- La sphère de centre $O$ et de rayon $r$ est l'ensemble des points de l'espace situés à la distance $r$ du point $O$ .
- La boule de centre $O$ et de rayon $r$ est l'ensemble des points situés à une distance inférieure ou égale à $r$ du point $O$ (la sphère est la « surface » et la boule le « volume plein »).

Une sphère est à une boule ce qu'un cercle est à un disque.

Aire et volume

\text{Aire de la sphère} = 4\pi r^2

\text{Volume de la boule} = \dfrac{4}{3}\pi r^3

Exemple

Pour une boule de rayon $r = 3$ cm :

\text{Aire} = 4\pi \times 3^2 = 36\pi \approx 113{,}1 \text{ cm}^2

\text{Volume} = \dfrac{4}{3}\pi \times 3^3 = \dfrac{4}{3}\pi \times 27 = 36\pi \approx 113{,}1 \text{ cm}^3

Exercices de la leçon

Exercice 1

Quelle est la formule du volume d'une boule de rayon $r$ ?

Corrigé

Le volume de la boule est $V = \dfrac{4}{3}\pi r^3$ .

Exercice 2

Vrai ou faux : la sphère est le volume « plein », et la boule est juste la surface extérieure.

Corrigé

Faux, c'est l'inverse : la sphère est la surface (comme un cercle), la boule est le volume plein (comme un disque).

Exercice 3

Calcule l'aire d'une sphère de rayon $5$ cm (donner la valeur exacte en fonction de $\pi$ ).

Corrigé

$\text{Aire} = 4\pi r^2 = 4\pi \times 5^2 = 4\pi \times 25 = 100\pi \text{ cm}^2$ .

Exercice 4

Une boule de pétanque a un rayon de $4$ cm. Calcule son volume exact, puis une valeur approchée au $\text{cm}^3$ près (avec $\pi \approx 3{,}14$ ).

Corrigé

On applique directement la formule $V=\dfrac{4}{3}\pi r^3$ avec $r=4$ , puis on remplace $\pi$ par sa valeur approchée pour obtenir un résultat numérique.

Exercice 5

Une sphère a un volume de $\dfrac{4}{3}\pi \times 1000 \text{ cm}^3$ . Calcule son rayon, puis l'aire de cette sphère.

Corrigé

On identifie $r^3$ en simplifiant l'égalité des volumes, puis on en déduit $r$ par racine cubique avant de calculer l'aire.

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