Sections planes de solides

Couper un solide par un plan

Lorsqu'on coupe un solide par un plan, on obtient une figure plane appelée section.

Solide coupé

Plan de coupe

Section obtenue

|---|---|---|

Cube	Parallèle à une face	Carré
Cylindre	Parallèle à la base	Disque
Cylindre	Perpendiculaire à la base, passant par l'axe	Rectangle
Cône	Parallèle à la base	Disque (plus petit)
Sphère	Tout plan passant par le centre	Grand cercle (même rayon que la sphère)
Sphère	Plan ne passant pas par le centre	Cercle plus petit

Pour une sphère de rayon $R$ , si le plan de coupe passe à une distance $d$ du centre ( $d < R$ ), le rayon $r$ du cercle de section vérifie le théorème de Pythagore :

$r^2 + d^2 = R^2$

Exemple

Une sphère de rayon $R = 13$ cm est coupée par un plan situé à $d=5$ cm du centre.

r^2 = R^2 - d^2 = 13^2 - 5^2 = 169 - 25 = 144 \implies r = \sqrt{144} = 12 \text{ cm}

Exercices de la leçon

Exercice 1

Quelle figure obtient-on en coupant un cylindre par un plan parallèle à sa base ?

Corrigé

Une coupe parallèle à la base d'un cylindre donne toujours un disque de même rayon que la base.

Exercice 2

Vrai ou faux : la section d'une sphère par un plan passant par son centre est un cercle de même rayon que la sphère.

Corrigé

Vrai : ce cercle est appelé « grand cercle » de la sphère, et a le même rayon que la sphère.

Exercice 3

Une sphère de rayon $R=10$ cm est coupée par un plan à $d=6$ cm du centre. Quel est le rayon du cercle de section ?

Corrigé

$r^2 = R^2-d^2 = 100-36=64 \implies r=\sqrt{64}=8$ cm.

Exercice 4

Une sphère de rayon $R=17$ cm est coupée par un plan, donnant un cercle de section de rayon $r=15$ cm. À quelle distance $d$ du centre se trouve ce plan ?

Corrigé

On réorganise la relation de Pythagore $r^2+d^2=R^2$ pour isoler $d^2$ , puis on prend la racine carrée.

Exercice 5

Une sphère de centre $O$ et de rayon $R=25$ cm est coupée par un plan passant à $d=7$ cm de $O$ . Calcule l'aire du disque de section obtenu.

Corrigé

On combine le théorème de Pythagore (pour trouver le rayon de la section) avec la formule de l'aire du disque ( $\mathcal{A}=\pi r^2$ ).

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