Bases orthonormées et projections orthogonales

Qu'est-ce qu'une base orthonormée ?

Une base orthonormée combine deux conditions : les vecteurs sont deux à deux orthogonaux ET chacun a une norme égale à $1$.

Dans une base orthonormée $(\vec{e_1},\vec{e_2},\vec{e_3})$, comment calcule-t-on la $i$-ième coordonnée d'un vecteur $\vec x$ ?

Dans une base orthonormée, chaque coordonnée s'obtient directement par un produit scalaire avec le vecteur de base correspondant — c'est l'avantage principal de ce type de base.

Calculer la projection orthogonale de $\vec x=(3,4)$ sur la droite dirigée par $\vec u=(1,0)$.

$\text{proj}_{\vec u}(\vec x)=\dfrac{3\times1+4\times0}{1^2}(1,0)=3(1,0)=(3,0)$.

Vrai ou faux : projeter deux fois orthogonalement sur la même droite donne le même résultat qu'une seule projection.

Vrai. La projection orthogonale est un projecteur idempotent : $\text{proj}_{\vec u}(\text{proj}_{\vec u}(\vec x))=\text{proj}_{\vec u}(\vec x)$, car le projeté est déjà sur la droite et sa propre projection sur elle-même ne change rien.

Que vaut $\|\vec{e_i}\|$ pour un vecteur $\vec{e_i}$ d'une base orthonormée ?

Par définition d'une base orthonormée, chaque vecteur de la base est unitaire, donc de norme $1$.

Normaliser le vecteur $\vec u_1=(1,1,0)$ pour obtenir $\vec e_1$ (première étape de Gram-Schmidt).

$\|\vec u_1\|=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt2$, donc $\vec e_1=\vec u_1/\|\vec u_1\| = (1/\sqrt2, 1/\sqrt2, 0)$.

Projeter $\vec x=(1,2,3)$ sur le plan $z=0$ (plan $xOy$).

Le vecteur normal au plan $z=0$ est $(0,0,1)$. La composante normale de $\vec x$ est $(0,0,3)$, donc la projection sur le plan est $(1,2,3)-(0,0,3)=(1,2,0)$.

Vrai ou faux : la projection orthogonale d'un vecteur $\vec x$ sur un sous-espace $F$ est l'élément de $F$ le plus proche de $\vec x$ (au sens de la norme euclidienne).

Vrai. C'est la propriété de meilleure approximation : $\text{proj}_F(\vec x)$ minimise $\|\vec x - \vec y\|$ parmi tous les $\vec y \in F$.

Soit $\vec x=(2,2,2)$ et le plan $\mathcal P$ de normal $\vec n=(1,1,1)$. Calculer la composante normale $\text{proj}_{\vec n}(\vec x)$.

$\text{proj}_{\vec n}(\vec x)=\dfrac{\vec x\cdot\vec n}{\|\vec n\|^2}\vec n = \dfrac{2+2+2}{3}(1,1,1)=2(1,1,1)=(2,2,2)$. (Cohérent : $\vec x$ est ici colinéaire à $\vec n$, donc égal à sa propre projection normale.)

Démontrer que $\vec x - \text{proj}_{\vec u}(\vec x)$ est orthogonal à $\vec u$.

$\big(\vec x-\text{proj}_{\vec u}(\vec x)\big)\cdot\vec u = \vec x\cdot\vec u - \dfrac{\vec x\cdot\vec u}{\|\vec u\|^2}(\vec u\cdot\vec u) = \vec x\cdot\vec u - \dfrac{\vec x\cdot\vec u}{\|\vec u\|^2}\|\vec u\|^2 = \vec x\cdot\vec u - \vec x\cdot\vec u = 0$. $\square$

Effectuer la 2e étape de Gram-Schmidt pour $\vec u_2=(1,0,1)$ sachant $\vec e_1=\left(\frac{1}{\sqrt2},\frac{1}{\sqrt2},0\right)$ : calculer $\vec v_2$ avant normalisation.

$\vec u_2\cdot\vec e_1 = \frac{1}{\sqrt2}$. $\vec v_2 = (1,0,1) - \frac1{\sqrt2}\left(\frac1{\sqrt2},\frac1{\sqrt2},0\right) = (1-\frac12, 0-\frac12, 1) = \left(\frac12,-\frac12,1\right)$.

Démontrer que la projection orthogonale $\text{proj}_{\vec u}$ est linéaire : $\text{proj}_{\vec u}(\vec x+\vec y)=\text{proj}_{\vec u}(\vec x)+\text{proj}_{\vec u}(\vec y)$.

$\text{proj}_{\vec u}(\vec x+\vec y) = \dfrac{(\vec x+\vec y)\cdot\vec u}{\|\vec u\|^2}\vec u$. Par bilinéarité du produit scalaire, $(\vec x+\vec y)\cdot\vec u = \vec x\cdot\vec u+\vec y\cdot\vec u$. Donc $\text{proj}_{\vec u}(\vec x+\vec y) = \dfrac{\vec x\cdot\vec u}{\|\vec u\|^2}\vec u + \dfrac{\vec y\cdot\vec u}{\|\vec u\|^2}\vec u = \text{proj}_{\vec u}(\vec x)+\text{proj}_{\vec u}(\vec y)$. $\square$

Vrai ou faux : si $(\vec{e_1},\vec{e_2})$ est une base orthonormée d'un plan $\mathcal P$, alors pour tout $\vec x\in\mathcal P$, $\|\vec x\|^2=(\vec x\cdot\vec{e_1})^2+(\vec x\cdot\vec{e_2})^2$.

Vrai, c'est l'identité de Parseval (cas particulier du théorème de Pythagore généralisé) : en écrivant $\vec x=(\vec x\cdot\vec{e_1})\vec{e_1}+(\vec x\cdot\vec{e_2})\vec{e_2}$, l'orthonormalité de la base donne directement $\|\vec x\|^2$ comme somme des carrés des coordonnées.

Soit $\mathcal P$ le plan d'équation $x+y+z=0$ et $\vec x=(3,0,0)$. Calculer la projection orthogonale de $\vec x$ sur $\mathcal P$ via le vecteur normal $\vec n=(1,1,1)$.

$\text{proj}_{\vec n}(\vec x) = \dfrac{\vec x\cdot\vec n}{\|\vec n\|^2}\vec n = \dfrac{3+0+0}{3}(1,1,1)=(1,1,1)$. Donc $\text{proj}_{\mathcal P}(\vec x) = \vec x - \text{proj}_{\vec n}(\vec x) = (3,0,0)-(1,1,1)=(2,-1,-1)$. Vérification : $2-1-1=0$, le résultat appartient bien au plan $\mathcal P$.

Démontrer que $\|\text{proj}_{\mathcal P}(\vec x)\| \leq \|\vec x\|$, avec égalité si et seulement si $\vec x\in\mathcal P$.

Écrivons $\vec x = \text{proj}_{\mathcal P}(\vec x) + \big(\vec x - \text{proj}_{\mathcal P}(\vec x)\big)$. Le second terme est orthogonal à tout vecteur de $\mathcal P$, donc en particulier orthogonal à $\text{proj}_{\mathcal P}(\vec x) \in \mathcal P$.

Par le théorème de Pythagore vectoriel (établi dans la leçon précédente) :

Égalité : elle a lieu si et seulement si $\|\vec x-\text{proj}_{\mathcal P}(\vec x)\|^2=0$, c'est-à-dire $\vec x=\text{proj}_{\mathcal P}(\vec x)\in\mathcal P$. $\square$