Droites et plans dans l'espace

Quelle donnée permet de définir une droite par une représentation paramétrique ?

Une droite est entièrement déterminée par un point qu'elle traverse et un vecteur directeur (non nul) qui indique sa direction.

Donner l'équation cartésienne du plan passant par $A(0,0,0)$ de vecteur normal $\vec n=(1,2,3)$.

L'équation est $1(x-0)+2(y-0)+3(z-0)=0$, soit $x+2y+3z=0$.

Vrai ou faux : deux droites de l'espace ayant des vecteurs directeurs colinéaires sont nécessairement confondues.

Faux. Elles sont parallèles (même direction), mais peuvent être strictement parallèles (sans aucun point commun) si elles ne partagent pas de point.

Quelle formule donne la distance d'un point $M(x_M,y_M,z_M)$ au plan $ax+by+cz+d=0$ ?

La distance d'un point à un plan se calcule en substituant les coordonnées du point dans l'équation cartésienne, en valeur absolue, divisée par la norme du vecteur normal.

Deux plans de vecteurs normaux $\vec{n_1}=(1,1,1)$ et $\vec{n_2}=(2,2,2)$ sont :

$\vec{n_2}=2\vec{n_1}$ : les deux vecteurs normaux sont colinéaires, donc les plans sont parallèles.

Calculer la distance du point $M(1,1,1)$ au plan $\mathcal P: x+y+z-1=0$.

$d(M,\mathcal P)=\dfrac{|1+1+1-1|}{\sqrt{1^2+1^2+1^2}}=\dfrac{2}{\sqrt3}=\dfrac{2\sqrt3}{3}$.

Vrai ou faux : une droite et un plan dans l'espace sont toujours sécants ou parallèles, jamais « gauches » l'un par rapport à l'autre.

Vrai. Contrairement à deux droites (qui peuvent être non coplanaires), une droite et un plan sont toujours soit parallèles ($\vec u \cdot \vec n = 0$), soit sécants en exactement un point.

Trouver le vecteur normal du plan passant par $A(1,0,0)$, $B(0,1,0)$, $C(0,0,1)$.

$\vec{AB}=(-1,1,0)$, $\vec{AC}=(-1,0,1)$, et $\vec n=\vec{AB}\wedge\vec{AC}=(1,1,1)$ (calcul détaillé dans le cours).

Soient $\mathcal D_1$ de vecteur directeur $(1,0,0)$ passant par $(0,0,0)$, et $\mathcal D_2$ de vecteur directeur $(0,1,0)$ passant par $(0,0,1)$. Ces droites sont-elles coplanaires ?

Les vecteurs directeurs ne sont pas colinéaires. On cherche un point commun : $(t,0,0)=(0,s,1)$ impose $t=0, 0=s, 0=1$ — contradiction sur la 3e coordonnée. Aucun point commun : les droites sont non coplanaires.

Calculer la distance du point $M(0,0,0)$ à la droite $\mathcal D$ passant par $A(1,0,0)$ de vecteur directeur $\vec u=(0,1,0)$.

$\overrightarrow{AM}=(-1,0,0)$. $\overrightarrow{AM}\wedge\vec u = (-1,0,0)\wedge(0,1,0) = (0\times0-0\times1,\ 0\times0-(-1)\times0,\ (-1)\times1-0\times0)=(0,0,-1)$, de norme $1$. Comme $\|\vec u\|=1$, $d(M,\mathcal D)=\dfrac{1}{1}=1$.

Démontrer la formule de distance d'un point à un plan $d(M,\mathcal P)=\dfrac{|ax_M+by_M+cz_M+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$ en utilisant la projection orthogonale de $M$ sur $\mathcal P$.

Soit $H$ le projeté orthogonal de $M$ sur $\mathcal P$. Par définition, $\overrightarrow{MH}$ est colinéaire au vecteur normal $\vec n=(a,b,c)$ : $\overrightarrow{MH} = k\,\dfrac{\vec n}{\|\vec n\|}$ pour un certain $k\in\mathbb{R}$, et $d(M,\mathcal P)=\|\overrightarrow{MH}\|=|k|$.

Comme $H\in\mathcal P$ : $a x_H+by_H+cz_H+d=0$. En écrivant $H=M+k\vec n/\|\vec n\|$ :

Soit $\mathcal D$ la droite d'intersection des plans $\mathcal P_1: x+y+z=1$ et $\mathcal P_2: x-y+z=0$. Donner un vecteur directeur de $\mathcal D$.

Le vecteur directeur de la droite d'intersection est orthogonal aux deux normaux $\vec{n_1}=(1,1,1)$ et $\vec{n_2}=(1,-1,1)$, donc colinéaire à $\vec{n_1}\wedge\vec{n_2}=(1\times1-1\times(-1),\ 1\times1-1\times1,\ 1\times(-1)-1\times1)=(2,0,-2)$.

Vrai ou faux : si une droite $\mathcal D$ vérifie $\vec u \cdot \vec n = 0$ pour un plan $\mathcal P$ de normal $\vec n$, alors $\mathcal D$ est nécessairement incluse dans $\mathcal P$.

Faux. $\vec u\cdot\vec n=0$ signifie seulement que $\mathcal D$ est parallèle à $\mathcal P$ (même direction que le plan). Elle peut être incluse dans $\mathcal P$ (si un de ses points vérifie l'équation du plan) ou strictement parallèle (disjointe).

Déterminer le point d'intersection de la droite $\mathcal D: x=t, y=t, z=1+t$ et du plan $\mathcal P: x+y-z=0$.

On substitue la représentation paramétrique dans l'équation du plan : $t+t-(1+t)=0 \Leftrightarrow t-1=0 \Leftrightarrow t=1$. Le point d'intersection est donc $(1,1,1+1)=(1,1,2)$.

Démontrer que la distance entre deux droites non coplanaires $\mathcal D_1$ (point $A_1$, direction $\vec{u_1}$) et $\mathcal D_2$ (point $A_2$, direction $\vec{u_2}$) est donnée par $d=\dfrac{|\overrightarrow{A_1A_2}\cdot(\vec{u_1}\wedge\vec{u_2})|}{\|\vec{u_1}\wedge\vec{u_2}\|}$.

Le vecteur $\vec w = \vec{u_1}\wedge\vec{u_2}$ est orthogonal simultanément à $\vec{u_1}$ et $\vec{u_2}$ (propriété du produit vectoriel) : c'est la direction commune perpendiculaire aux deux droites, qui réalise la plus courte distance entre elles.

La distance entre $\mathcal D_1$ et $\mathcal D_2$ est la longueur du segment porté par $\vec w$ reliant les deux droites, ce qui correspond exactement à la valeur absolue de la projection scalaire de $\overrightarrow{A_1A_2}$ sur la direction unitaire $\vec w/\|\vec w\|$ :