Produit scalaire et orthogonalité

Calculer le produit scalaire de $\vec u=(1,2,3)$ et $\vec v=(4,-1,0)$.

$\vec u\cdot\vec v = 1\times4+2\times(-1)+3\times0 = 4-2+0=2$.

Vrai ou faux : le produit scalaire est commutatif, $\vec u\cdot\vec v=\vec v\cdot\vec u$.

Vrai, c'est la propriété de symétrie du produit scalaire, immédiate à partir de sa formule $u_1v_1+u_2v_2+u_3v_3$.

Quels vecteurs sont orthogonaux parmi $\vec u=(1,2,-1)$ et $\vec v=(3,-1,1)$ ?

$\vec u\cdot\vec v = 1\times3+2\times(-1)+(-1)\times1=3-2-1=0$ : les vecteurs sont orthogonaux.

Quelle est la norme du vecteur $\vec u=(3,4,0)$ ?

$\|\vec u\|=\sqrt{3^2+4^2+0^2}=\sqrt{25}=5$.

Deux plans de vecteurs normaux $\vec{n_1}=(1,0,0)$ et $\vec{n_2}=(0,1,0)$ sont :

$\vec{n_1}\cdot\vec{n_2}=1\times0+0\times1+0\times0=0$ : les normaux sont orthogonaux, donc les plans sont orthogonaux.

Calculer l'angle entre $\vec u=(1,0,0)$ et $\vec v=(1,1,0)$.

$\cos\theta = \dfrac{1}{1\times\sqrt2}=\dfrac{1}{\sqrt2}$, donc $\theta=\pi/4$.

Vrai ou faux : l'inégalité de Cauchy-Schwarz $|\vec u\cdot\vec v|\leq\|\vec u\|\|\vec v\|$ devient une égalité si et seulement si $\vec u$ et $\vec v$ sont colinéaires.

Vrai. L'égalité correspond à un discriminant nul dans la preuve, c'est-à-dire à l'existence d'un $t$ tel que $\vec u+t\vec v=\vec 0$ : $\vec u$ et $\vec v$ sont colinéaires.

Pour quelle valeur de $k$ les vecteurs $\vec u=(2,k,1)$ et $\vec v=(1,-1,3)$ sont-ils orthogonaux ?

$\vec u\cdot\vec v=2\times1+k\times(-1)+1\times3=2-k+3=5-k$. On veut $5-k=0$, soit $k=5$.

Une droite de vecteur directeur $\vec u=(2,2,2)$ est-elle orthogonale au plan $\mathcal P: x+y+z=5$ ?

$\vec u=(2,2,2)=2(1,1,1)$ est colinéaire au vecteur normal du plan $(1,1,1)$ : la droite est donc orthogonale au plan.

Démontrer que pour tous vecteurs $\vec u,\vec v$, $\|\vec u+\vec v\|^2 = \|\vec u\|^2+2\vec u\cdot\vec v+\|\vec v\|^2$.

$\|\vec u+\vec v\|^2 = (\vec u+\vec v)\cdot(\vec u+\vec v)$. Par bilinéarité : $=\vec u\cdot\vec u+\vec u\cdot\vec v+\vec v\cdot\vec u+\vec v\cdot\vec v$. Par symétrie, $\vec u\cdot\vec v=\vec v\cdot\vec u$, donc $=\|\vec u\|^2+2\vec u\cdot\vec v+\|\vec v\|^2$. $\square$

En déduire de l'exercice précédent que $\vec u\perp\vec v \iff \|\vec u+\vec v\|^2=\|\vec u\|^2+\|\vec v\|^2$ (théorème de Pythagore vectoriel).

D'après l'exercice précédent, $\|\vec u+\vec v\|^2=\|\vec u\|^2+2\vec u\cdot\vec v+\|\vec v\|^2$. Cette quantité vaut $\|\vec u\|^2+\|\vec v\|^2$ si et seulement si $2\vec u\cdot\vec v=0$, c'est-à-dire $\vec u\cdot\vec v=0$, soit exactement $\vec u\perp\vec v$. C'est la version vectorielle du théorème de Pythagore. $\square$

Vrai ou faux : si $\vec u\cdot\vec v=\vec u\cdot\vec w$ pour un vecteur $\vec u\neq\vec 0$ donné, alors nécessairement $\vec v=\vec w$.

Faux. On a seulement $\vec u\cdot(\vec v-\vec w)=0$, c'est-à-dire $\vec v-\vec w$ orthogonal à $\vec u$, ce qui n'implique pas $\vec v-\vec w=\vec 0$. Contre-exemple : $\vec u=(1,0,0)$, $\vec v=(0,1,0)$, $\vec w=(0,0,1)$ : $\vec u\cdot\vec v=\vec u\cdot\vec w=0$ mais $\vec v\neq\vec w$.

Démontrer l'inégalité triangulaire pour les vecteurs : $\|\vec u+\vec v\|\leq\|\vec u\|+\|\vec v\|$, à partir de Cauchy-Schwarz.

$\|\vec u+\vec v\|^2 = \|\vec u\|^2+2\vec u\cdot\vec v+\|\vec v\|^2$. Par Cauchy-Schwarz, $\vec u\cdot\vec v \leq |\vec u\cdot\vec v| \leq \|\vec u\|\|\vec v\|$. Donc :

Soit $\vec u,\vec v,\vec w$ trois vecteurs deux à deux orthogonaux et non nuls. Démontrer qu'ils sont linéairement indépendants.

Supposons $a\vec u+b\vec v+c\vec w=\vec 0$. Prenons le produit scalaire avec $\vec u$ : $a(\vec u\cdot\vec u)+b(\vec v\cdot\vec u)+c(\vec w\cdot\vec u)=0$. Comme $\vec u\perp\vec v$ et $\vec u\perp\vec w$, les deux derniers termes sont nuls : $a\|\vec u\|^2=0$. Comme $\vec u\neq\vec 0$, $\|\vec u\|^2>0$, donc $a=0$.

On procède de même en multipliant par $\vec v$ puis $\vec w$ pour obtenir $b=0$ et $c=0$. La seule combinaison linéaire nulle est triviale : $\vec u,\vec v,\vec w$ sont linéairement indépendants. $\square$

Soit $\mathcal P_1: x+y-z=0$ et $\mathcal P_2: 2x-y+z=0$. Calculer l'angle entre leurs vecteurs normaux et en déduire si les plans sont orthogonaux.

$\vec{n_1}=(1,1,-1)$, $\vec{n_2}=(2,-1,1)$. $\vec{n_1}\cdot\vec{n_2}=1\times2+1\times(-1)+(-1)\times1=2-1-1=0$. Le produit scalaire des normaux est nul, donc l'angle entre eux est $\pi/2$ : les deux plans $\mathcal P_1$ et $\mathcal P_2$ sont orthogonaux.