Courbes paramétrées et courbure

Qu'est-ce qu'une courbe paramétrée régulière ?

Une courbe est régulière si son vecteur vitesse $\gamma'(t)$ ne s'annule jamais, garantissant l'existence d'une tangente bien définie en chaque point.

Vrai ou faux : un paramétrage par longueur d'arc vérifie $\|\gamma'(s)\|=1$ pour tout $s$.

Vrai. C'est exactement la définition : le paramètre $s$ représente alors la longueur parcourue, donc la vitesse de parcours est unitaire.

Quelle est la courbure d'un cercle de rayon $R$ ?

Le calcul direct (cf. cours §3) donne $\kappa=1/R$ : plus le rayon est grand, plus la courbure est faible (le cercle « tourne » moins vite).

Vrai ou faux : la torsion d'une courbe plane (contenue dans un plan fixe) est toujours nulle.

Vrai. La torsion mesure la vitesse à laquelle la courbe sort de son plan osculateur ; pour une courbe plane, ce plan est constant (le plan contenant la courbe), donc $\tau=0$ identiquement.

Dans le repère de Frenet $(T,N,B)$ d'une courbe de l'espace, comment est définie la binormale $B$ ?

La binormale est le vecteur unitaire normal au plan osculateur, défini par $B=(\gamma'\times\gamma'')/\|\gamma'\times\gamma''\|$. Noter qu'on a aussi $B=T\times N$ (l'option C est vraie également mais ce n'est pas la définition de départ, plutôt une relation entre les trois vecteurs du repère).

Calculer la courbure de la parabole $\gamma(t)=(t,t^2)$ au point $t=0$.

$x'=1,y'=2t,x''=0,y''=2$. Numérateur : $x'y''-y'x''=1\times2-2t\times0=2$. Dénominateur : $(1+4t^2)^{3/2}$. En $t=0$ : $\kappa=2/1=2$.

Pour l'hélice $\gamma(t)=(2\cos t,2\sin t,3t)$ (donc $a=2,b=3$), quelle est sa courbure $\kappa$ ?

$\kappa=a/(a^2+b^2)=2/(4+9)=2/13$.

Pour la même hélice $\gamma(t)=(2\cos t,2\sin t,3t)$, quelle est sa torsion $\tau$ ?

$\tau=b/(a^2+b^2)=3/(4+9)=3/13$.

Vrai ou faux : pour une courbe paramétrée par longueur d'arc, la formule de la courbure se simplifie en $\kappa(s)=\|\gamma''(s)\|$.

Vrai. Quand $s$ est l'abscisse curviligne, $T(s)=\gamma'(s)$, et $T'(s)=\kappa(s)N(s)$ avec $N(s)$ unitaire, donc $\|T'(s)\|=\kappa(s)$ ; comme $T'(s)=\gamma''(s)$, on a bien $\kappa(s)=\|\gamma''(s)\|$ dans ce paramétrage particulier (ce n'est pas vrai pour un paramétrage quelconque).

Calculer la longueur d'arc de l'hélice $\gamma(t)=(\cos t,\sin t,t)$ entre $t=0$ et $t=2\pi$.

$\gamma'(t)=(-\sin t,\cos t,1)$, $\|\gamma'(t)\|=\sqrt{\sin^2t+\cos^2t+1}=\sqrt2$ (constante). Longueur $=\displaystyle\int_0^{2\pi}\sqrt2\,dt=2\sqrt2\,\pi$.

Démontrer la formule $\kappa(t)=\dfrac{x'y''-y'x''}{(x'^2+y'^2)^{3/2}}$ pour une courbe plane $\gamma(t)=(x(t),y(t))$, à partir de la définition $T'(s)=\kappa(s)N(s)$ en abscisse curviligne.

Mise en place. Soit $v(t)=\|\gamma'(t)\|=\sqrt{x'^2+y'^2}$ la vitesse, et $s(t)$ l'abscisse curviligne, avec $ds/dt=v(t)$. Le vecteur tangent unitaire est $T(t)=\gamma'(t)/v(t)=(x'/v,y'/v)$.

Dérivation en chaîne. Par définition (en abscisse curviligne), $\dfrac{dT}{ds}=\kappa N$. Or $\dfrac{dT}{ds}=\dfrac{dT/dt}{ds/dt}=\dfrac{T'(t)}{v(t)}$, donc $\kappa N = T'(t)/v(t)$, d'où $\kappa = \dfrac{\|T'(t)\|}{v(t)}$ (en norme, $N$ étant unitaire).

Calcul de $T'(t)$. En dérivant $T=(x'/v,y'/v)$ :

Après calcul (en utilisant $vv'=x'x''+y'y''$, dérivée de $v^2=x'^2+y'^2$), la composante de $T'$ orthogonale à $T$ (c'est-à-dire le long de $N$) se simplifie en $\dfrac{x'y''-y'x''}{v^2}$. En divisant par $v$ pour obtenir $\kappa=\|T'\|/v$ :

Démontrer que si une courbe de l'espace a une torsion nulle en tout point ($\tau\equiv0$), alors elle est plane (contenue dans un plan fixe).

Étape 1 — la binormale est constante. Par la formule de Frenet-Serret, $B'(s)=-\tau(s)N(s)$. Si $\tau\equiv0$, alors $B'(s)=0$ pour tout $s$, donc $B(s)=B_0$ est un vecteur constant.

Étape 2 — la courbe reste dans un plan orthogonal à $B_0$. Considérons la fonction scalaire $f(s)=\big(\gamma(s)-\gamma(0)\big)\cdot B_0$. Sa dérivée est :

Or, par construction du repère de Frenet, $T(s)\perp B(s)=B_0$ en tout point (le repère $(T,N,B)$ est orthonormé), donc $T(s)\cdot B_0=0$ pour tout $s$. Ainsi $f'(s)=0$ pour tout $s$, donc $f$ est constante, et comme $f(0)=0$, on a $f(s)=0$ pour tout $s$.

Conclusion. $\big(\gamma(s)-\gamma(0)\big)\cdot B_0=0$ pour tout $s$ signifie que $\gamma(s)$ reste dans le plan affine passant par $\gamma(0)$ et orthogonal à $B_0$ — la courbe est donc plane. $\square$

Soit $\gamma(t)=(t,\cosh t)$ (la chaînette). Calculer sa courbure $\kappa(t)$ en fonction de $t$.

Dérivées : $x(t)=t\Rightarrow x'=1,\,x''=0$. $y(t)=\cosh t\Rightarrow y'=\sinh t,\,y''=\cosh t$.

Numérateur : $x'y''-y'x'' = 1\cdot\cosh t - \sinh t\cdot0 = \cosh t$.

Dénominateur : $x'^2+y'^2 = 1+\sinh^2t = \cosh^2t$ (identité $\cosh^2-\sinh^2=1$), donc $(x'^2+y'^2)^{3/2}=\cosh^3t$ (car $\cosh t>0$).

Résultat :

Vrai ou faux : le théorème fondamental des courbes affirme que la donnée de $\kappa(s)>0$ et $\tau(s)$ (fonctions continues) détermine une courbe unique à déplacement rigide près (rotation + translation).

Vrai. C'est le théorème fondamental de la théorie des courbes (existence et unicité, via résolution du système différentiel de Frenet-Serret avec conditions initiales) : courbure et torsion déterminent intégralement la forme de la courbe, indépendamment de sa position et orientation dans l'espace.

Démontrer, à partir des formules de Frenet-Serret, que $\dfrac{d}{ds}(T\cdot T)=0$, confirmant que $\|T(s)\|$ reste constant égal à $1$.

Calcul de la dérivée. Par la règle de Leibniz pour le produit scalaire :

Utilisation de Frenet-Serret. La première formule donne $T'=\kappa N$, donc :

Orthogonalité du repère. Par construction, $(T,N,B)$ est un repère orthonormé en tout point, donc $N\cdot T=0$ identiquement. D'où :

Conclusion. $T\cdot T$ est donc constante le long de la courbe. Comme $T$ est unitaire par définition ($T=\gamma'/\|\gamma'\|$ en paramétrage par longueur d'arc), $T(s_0)\cdot T(s_0)=1$ en un point quelconque $s_0$, donc $T\cdot T=1$ pour tout $s$ : ceci confirme la cohérence interne des formules de Frenet-Serret, qui préservent automatiquement le caractère unitaire (et orthogonal) du repère mobile. $\square$