Surfaces paramétrées et première forme fondamentale

Comment définit-on le coefficient $F$ de la première forme fondamentale ?

$F$ est le produit scalaire (et non vectoriel) des deux dérivées partielles : $F=X_u\cdot X_v$. C'est ce qui mesure si les courbes coordonnées $u=\text{cste}$ et $v=\text{cste}$ sont orthogonales ($F=0$) ou non.

Vrai ou faux : pour le plan $X(u,v)=(u,v,0)$, la première forme fondamentale est $I=a^2+b^2$.

Vrai. $E=1,F=0,G=1$ pour le plan paramétré par l'identité, donc $I(w,w)=1\cdot a^2+0+1\cdot b^2=a^2+b^2$, la métrique euclidienne usuelle.

Quelle est la formule de l'élément d'aire $dA$ en fonction de $E,F,G$ ?

C'est la formule classique $dA=\|X_u\times X_v\|\,du\,dv=\sqrt{EG-F^2}\,du\,dv$ (identité de Lagrange reliant norme du produit vectoriel et déterminant de Gram).

Pour la sphère de rayon $R$, que vaut le coefficient $F$ dans le paramétrage usuel $(u,v)\mapsto(R\cos u\sin v,R\sin u\sin v,R\cos v)$ ?

Le calcul direct de $X_u\cdot X_v$ donne $0$ : les courbes coordonnées (méridiens $u=$cste et parallèles $v=$cste) sont orthogonales en tout point de la sphère.

Vrai ou faux : le cylindre est isométrique au plan (on peut le « dérouler » sans déformer les longueurs).

Vrai. La première forme fondamentale du cylindre ($E=R^2,F=0,G=1$, indépendante de $u,v$) coïncide, après un simple changement d'échelle sur $u$, avec celle du plan : c'est la propriété qui permet de dérouler un cylindre à plat sans déformation.

Calculer $E,F,G$ pour le paraboloïde $X(u,v)=(u,v,u^2+v^2)$ au point $(u,v)=(0,0)$.

$X_u=(1,0,2u)$, $X_v=(0,1,2v)$. En $(0,0)$ : $X_u=(1,0,0)$, $X_v=(0,1,0)$, donc $E=1,F=0,G=1$ (le plan tangent au sommet du paraboloïde est horizontal, sans déformation au premier ordre).

Pour le cône $X(u,v)=(v\cos u,v\sin u,v)$ ($v>0$), calculer $E,F,G$.

$X_u=(-v\sin u,v\cos u,0)$, $\|X_u\|^2=v^2$ donc $E=v^2$. $X_v=(\cos u,\sin u,1)$, $\|X_v\|^2=\cos^2u+\sin^2u+1=2$ donc $G=2$. $X_u\cdot X_v=-v\sin u\cos u+v\cos u\sin u+0=0$ donc $F=0$.

Calculer l'aire totale de la sphère de rayon $R=3$ à partir de la formule $dA=R^2\sin v\,du\,dv$.

Aire $=4\pi R^2=4\pi\times9=36\pi$.

Vrai ou faux : si $F=0$ partout sur une surface, les courbes coordonnées $u=\text{cste}$ et $v=\text{cste}$ se coupent orthogonalement.

Vrai. Le vecteur tangent à la courbe $u=\text{cste}$ (paramétrée par $v$) est colinéaire à $X_v$, et celui à $v=\text{cste}$ est colinéaire à $X_u$ ; leur produit scalaire $X_u\cdot X_v=F$ étant nul, ils sont orthogonaux.

Pour la surface de révolution $X(u,v)=(f(v)\cos u,f(v)\sin u,g(v))$ (avec $f>0$), montrer que $F=0$ quelles que soient les fonctions $f,g$.

Calcul des dérivées partielles :

Calcul de $F$ :

Les deux premiers termes sont opposés (même produit $f f'\sin u\cos u$, signes contraires), donc ils s'annulent exactement, et le troisième est nul. D'où $F=0$ identiquement, pour n'importe quelles fonctions $f,g$ (génératrices du profil de révolution). Cela confirme que les méridiens (courbes $u=$cste) et les parallèles (courbes $v=$cste) sont toujours orthogonaux sur une surface de révolution — résultat géométriquement attendu par symétrie.

Pour le tore $X(u,v)=\big((R+r\cos v)\cos u,(R+r\cos v)\sin u,r\sin v\big)$ ($R>r>0$), calculer $E$ et $G$.

Calcul de $X_u$ :

Calcul de $X_v$ :

Donc $E=(R+r\cos v)^2$ et $G=r^2$ (et on vérifie aisément $F=X_u\cdot X_v=0$, le tore étant aussi une surface de révolution).

À partir des résultats de l'exercice précédent, calculer l'aire totale du tore $X(u,v)=\big((R+r\cos v)\cos u,(R+r\cos v)\sin u,r\sin v\big)$ pour $u,v\in[0,2\pi]$.

Élément d'aire : avec $F=0$, $E=(R+r\cos v)^2$, $G=r^2$ :

Intégration en $v$ d'abord :

Intégration en $u$ :

C'est la formule classique de l'aire du tore, $4\pi^2Rr$ (cohérente avec le second théorème de Pappus-Guldin : aire $=2\pi R\times2\pi r$, longueur du cercle générateur fois distance parcourue par son centre).

Vrai ou faux : deux surfaces ayant la même première forme fondamentale dans des paramétrages correspondants ont nécessairement la même courbure de Gauss en tout point.

Vrai — c'est précisément le contenu du theorema egregium de Gauss (étudié en détail à la leçon suivante) : la courbure de Gauss ne dépend que de la première forme fondamentale (donc des longueurs et angles intrinsèques à la surface), pas de la façon dont la surface est plongée dans $\mathbb{R}^3$.

Calculer la longueur du méridien (courbe $u=\text{cste}$, $v$ variant de $0$ à $\pi$) sur la sphère de rayon $R$, à partir de la première forme fondamentale.

Sur la courbe $u=\text{cste}$ paramétrée par $v\in[0,\pi]$, on a $du=0$ et $dv\neq0$, donc la formule de longueur $L=\displaystyle\int\sqrt{E\,du^2+2F\,du\,dv+G\,dv^2}$ se réduit à $L=\displaystyle\int\sqrt{G}\,dv$.

Pour la sphère, $G=R^2$ (constant), donc $\sqrt G=R$, d'où :

C'est cohérent avec la géométrie élémentaire : un méridien va du pôle nord ($v=0$) au pôle sud ($v=\pi$), soit exactement la moitié d'un grand cercle de circonférence $2\pi R$, donc une longueur $\pi R$.

Démontrer que pour toute surface paramétrée régulière, $EG-F^2>0$ en tout point (positivité stricte du discriminant de la première forme fondamentale), en utilisant l'identité de Lagrange $\|X_u\times X_v\|^2=\|X_u\|^2\|X_v\|^2-(X_u\cdot X_v)^2$.

Identité de Lagrange. Pour deux vecteurs $a,b\in\mathbb{R}^3$, l'identité de Lagrange donne $\|a\times b\|^2=\|a\|^2\|b\|^2-(a\cdot b)^2$. En appliquant cela à $a=X_u$, $b=X_v$ :

Utilisation de la régularité. Par définition, une surface paramétrée est dite régulière précisément lorsque $X_u$ et $X_v$ sont linéairement indépendants en tout point, ce qui équivaut à $X_u\times X_v\neq0$.

Conclusion. Comme $X_u\times X_v\neq0$, on a $\|X_u\times X_v\|^2>0$, et par l'identité de Lagrange ci-dessus :

Ce résultat garantit que la première forme fondamentale est définie positive (en tant que forme quadratique en $(a,b)$), ce qui est essentiel pour qu'elle définisse bien une métrique (notion de longueur strictement positive pour tout vecteur tangent non nul) sur la surface.