Seconde forme fondamentale et courbure de Gauss

Comment définit-on le coefficient $L$ de la seconde forme fondamentale ?

$L$ est la projection de la dérivée seconde $X_{uu}$ sur le vecteur normal $\mathbf{n}$ : $L=X_{uu}\cdot\mathbf{n}$, mesurant la courbure de la surface dans la direction $u$.

Vrai ou faux : un point de courbure de Gauss $K>0$ est dit point elliptique.

Vrai. Quand $K>0$, les deux courbures principales sont de même signe : la surface se courbe du même côté dans toutes les directions normales (comme un point de la sphère), on parle de point elliptique.

Quelle est la courbure de Gauss de la sphère de rayon $R$ ?

Le calcul direct (cours §4) donne $K=1/R^2$, constante en tout point de la sphère.

Vrai ou faux : le cylindre a une courbure de Gauss nulle partout.

Vrai. Comme calculé au cours §5, $K=0$ pour le cylindre, ce qui est cohérent avec son isométrie au plan (theorema egregium).

Que dit le theorema egregium de Gauss ?

Le theorema egregium (« théorème remarquable ») énonce que $K$ est une quantité intrinsèque, calculable à partir de $E,F,G$ seuls (et de leurs dérivées), sans référence à la façon dont la surface est plongée dans l'espace.

Pour un point hyperbolique (selle de cheval), quel est le signe de la courbure de Gauss $K$ ?

Au point hyperbolique, les deux courbures principales sont de signes opposés (la surface se courbe vers le haut dans une direction et vers le bas dans l'autre), donc leur produit $K=\kappa_1\kappa_2<0$.

Sachant que pour le cylindre $L=-R,M=0,N=0,E=R^2,F=0,G=1$, retrouver $K=0$ par le calcul.

$K=\dfrac{LN-M^2}{EG-F^2}=\dfrac{(-R)\times0-0}{R^2\times1-0}=\dfrac{0}{R^2}=0$.

Vrai ou faux : la courbure moyenne $H$ est toujours égale au produit des courbures principales.

Faux. C'est la courbure de Gauss $K$ qui est le produit des courbures principales ($K=\kappa_1\kappa_2$) ; la courbure moyenne $H$ en est la moyenne arithmétique ($H=(\kappa_1+\kappa_2)/2$).

Une surface minimale (comme une bulle de savon) vérifie $H=0$ en tout point. Que peut-on en déduire sur le signe de $K$ en tout point non plat ?

Si $H=(\kappa_1+\kappa_2)/2=0$, alors $\kappa_2=-\kappa_1$, donc $K=\kappa_1\kappa_2=-\kappa_1^2\leq0$ : tout point d'une surface minimale est soit plat ($K=0$, quand $\kappa_1=\kappa_2=0$) soit hyperbolique ($K<0$).

Pourquoi ne peut-on jamais réaliser une carte plane parfaitement fidèle (sans aucune déformation) de la Terre, en s'appuyant sur le theorema egregium ?

Une carte « parfaitement fidèle » correspondrait à une isométrie entre une portion de la sphère terrestre (de courbure de Gauss $K=1/R^2$, constante et non nulle) et une portion du plan de la carte (de courbure de Gauss $K=0$, car le plan est plat).

Or le theorema egregium de Gauss affirme que la courbure de Gauss est un invariant isométrique : deux surfaces isométriques ont nécessairement la même courbure de Gauss en points correspondants.

Comme $1/R^2\neq0$ pour la sphère terrestre alors que $K=0$ pour le plan, aucune isométrie (même locale, sur une petite région) entre la sphère et le plan ne peut exister. C'est pourquoi toute projection cartographique (Mercator, Lambert, etc.) déforme nécessairement soit les distances, soit les angles, soit les aires — il s'agit d'un théorème mathématique, pas d'une limitation des techniques de cartographie actuelles.

Démontrer que pour une surface développable (isométrique au plan, comme le cylindre ou le cône), on a nécessairement $K=0$ en tout point.

Étape 1 — courbure du plan. Pour le plan $X(u,v)=(u,v,0)$, toutes les dérivées secondes sont nulles ($X_{uu}=X_{uv}=X_{vv}=0$), donc $L=M=N=0$, et $K=\dfrac{LN-M^2}{EG-F^2}=\dfrac{0}{EG-F^2}=0$.

Étape 2 — invariance isométrique de $K$. Par le theorema egregium, la courbure de Gauss $K$ ne dépend que de la première forme fondamentale $(E,F,G)$ (et de ses dérivées), pas du plongement particulier dans $\mathbb{R}^3$.

Étape 3 — conclusion. Si une surface $S$ est isométrique au plan (c'est-à-dire qu'il existe un paramétrage de $S$ ayant la même première forme fondamentale que le plan, à un changement de coordonnées près), alors par le theorema egregium, sa courbure de Gauss en tout point correspondant est la même que celle du plan, c'est-à-dire $0$.

Donc toute surface développable (cylindre, cône, et plus généralement toute surface qu'on peut « dérouler » à plat sans déformation) a $K=0$ en tout point. $\square$ C'est cohérent avec les calculs explicites du cylindre (§5 du cours).

Calculer la courbure de Gauss du paraboloïde $X(u,v)=(u,v,u^2+v^2)$ à l'origine $(0,0)$, sachant qu'en ce point $E=1,F=0,G=1$ et que $\mathbf{n}=(0,0,1)$ (vecteur normal vertical), $X_{uu}=(0,0,2)$, $X_{uv}=(0,0,0)$, $X_{vv}=(0,0,2)$.

Calcul des coefficients de la seconde forme fondamentale :

Calcul de $K$ :

À l'origine, $K=4>0$ : c'est un point elliptique, cohérent avec l'observation géométrique que le paraboloïde $z=u^2+v^2$ a un minimum local strict à l'origine, se courbant vers le haut dans toutes les directions tangentes — exactement le comportement caractéristique d'un point elliptique.

Vrai ou faux : pour la selle $X(u,v)=(u,v,u^2-v^2)$ à l'origine, où $E=1,F=0,G=1$, $\mathbf{n}=(0,0,1)$, $X_{uu}=(0,0,2)$, $X_{uv}=(0,0,0)$, $X_{vv}=(0,0,-2)$, on obtient $K<0$ (point hyperbolique).

Vrai. $L=X_{uu}\cdot\mathbf{n}=2$, $M=0$, $N=X_{vv}\cdot\mathbf{n}=-2$. $K=(LN-M^2)/(EG-F^2)=(2\times(-2)-0)/1=-4<0$ : c'est bien un point hyperbolique, cohérent avec la forme de selle de cheval de la surface $z=u^2-v^2$ à l'origine (minimum dans une direction, maximum dans l'autre).

Démontrer que pour la sphère, les courbures principales valent $\kappa_1=\kappa_2=1/R$ en tout point (la sphère est dite « totalement ombilique »), en utilisant $K=1/R^2$ et la symétrie du problème.

Argument de symétrie. En un point quelconque de la sphère, le groupe des rotations autour de la droite passant par ce point et le centre de la sphère agit transitivement sur les directions tangentes en ce point — c'est-à-dire qu'aucune direction tangente n'est géométriquement privilégiée par rapport à une autre (la sphère « a la même forme » dans toutes les directions vue d'un point). Par conséquent, la courbure normale (qui dépend a priori de la direction choisie dans le plan tangent) doit être la même dans toutes les directions : $\kappa_1=\kappa_2=\kappa$ (on dit que tous les points de la sphère sont ombilicaux).

Utilisation de $K=\kappa_1\kappa_2$. Comme $\kappa_1=\kappa_2=\kappa$ :

On a calculé $K=1/R^2$ (cours §4), donc $\kappa^2=1/R^2$, d'où $\kappa=\pm1/R$. En choisissant l'orientation usuelle du vecteur normal (pointant vers l'extérieur, courbure positive pour une surface convexe vue de l'extérieur) :

Ce résultat illustre la propriété remarquable de la sphère d'être la seule surface compacte (à part le plan, non compact) ayant une courbure principale constante identique dans toutes les directions en tout point.

Sachant que pour le tore $X(u,v)=\big((R+r\cos v)\cos u,(R+r\cos v)\sin u,r\sin v\big)$ on a $K=\dfrac{\cos v}{r(R+r\cos v)}$ (formule classique admise), déterminer pour quelles valeurs de $v\in[0,2\pi[$ le tore a des points elliptiques, hyperboliques, et paraboliques.

Analyse du signe de $K$. Comme $r>0$ et $R>r>0$ donc $R+r\cos v\geq R-r>0$ toujours, le dénominateur $r(R+r\cos v)$ est toujours strictement positif. Le signe de $K$ est donc exactement celui de $\cos v$.

Points elliptiques ($K>0$, donc $\cos v>0$) : pour $v\in\,]-\pi/2,\pi/2[$ (modulo $2\pi$) — c'est la partie extérieure du tore (la partie « bombée » la plus loin de l'axe de révolution), où la surface se courbe comme une sphère localement.

Points hyperboliques ($K<0$, donc $\cos v<0$) : pour $v\in\,]\pi/2,3\pi/2[$ — c'est la partie intérieure du tore (proche du « trou » central), en forme de selle, où la surface se courbe dans des sens opposés selon la direction.

Points paraboliques ($K=0$, donc $\cos v=0$) : exactement en $v=\pi/2$ et $v=3\pi/2$ — ce sont les deux cercles limites (le cercle le plus haut et le cercle le plus bas du tore) qui séparent la région elliptique de la région hyperbolique. C'est un exemple classique et instructif d'une surface compacte présentant les trois types de points simultanément.