Triangles et quadrilatères

Introduction

Les triangles et quadrilatères sont les figures planes les plus courantes. On les retrouve dans l'architecture, l'art et la nature. Connaître leurs propriétés permet de résoudre de nombreux problèmes.

Les triangles

Un triangle possède 3 côtés et 3 angles. Propriété fondamentale :

\boxed{\text{Somme des angles d'un triangle} = 180°}

Type

Propriété

|------|-----------|

Quelconque	Aucune propriété particulière
Isocèle	2 côtés égaux, 2 angles à la base égaux
Équilatéral	3 côtés égaux, 3 angles de $60°$
Rectangle	1 angle droit ( $90°$ )

Les quadrilatères

Quadrilatère

Propriétés clés

|--------------|-----------------|

Carré	4 côtés égaux, 4 angles droits
Rectangle	4 angles droits, côtés opposés égaux
Losange	4 côtés égaux, angles opposés égaux
Parallélogramme	Côtés opposés parallèles et égaux
Trapèze	1 paire de côtés parallèles

🔑 Hiérarchie : Un carré est un rectangle et un losange particulier.

Propriétés des diagonales

Figure

Diagonales

|--------|------------|

Rectangle	Égales
Losange	Perpendiculaires
Carré	Égales et perpendiculaires

Exemples

✅ Exemple simple — Trouver un angle manquant

Triangle avec angles $50°$ et $70°$ . Troisième angle ?

\alpha = 180° - 50° - 70° = \boxed{60°}

📘 Exemple intermédiaire — Triangle isocèle

Triangle isocèle avec angle au sommet $= 40°$ .

Les deux angles à la base sont égaux :

\alpha = \frac{180° - 40°}{2} = \frac{140°}{2} = \boxed{70°}

🔴 Exemple avancé — Identifier un quadrilatère

Un quadrilatère a ses diagonales qui sont perpendiculaires ET égales. Quel est-il ?

- Diagonales égales → rectangle ou carré
- Diagonales perpendiculaires → losange ou carré
- Les deux → carré !

À retenir

- Somme des angles d'un triangle : $180°$
- Triangle isocèle : 2 côtés et 2 angles égaux
- Triangle équilatéral : 3 angles de $60°$
- Carré = rectangle + losange (le plus spécial !)

Exercices de la leçon

Exercice 1

La somme des angles d'un triangle est…

Corrigé

La somme des trois angles intérieurs d'un triangle est toujours $\mathbf{180°}$ . C'est une propriété fondamentale valable pour tout triangle.

Exercice 2

Un carré est un rectangle particulier.

Corrigé

Un rectangle a 4 angles droits et des côtés opposés égaux. Un carré vérifie tout cela et a ses 4 côtés égaux. Donc un carré est bien un rectangle particulier. Vrai.

Exercice 3

Dans un triangle isocèle, les deux angles de la base valent $65°$ . Que vaut l'angle au sommet ?

Corrigé

Somme des angles $= 180°$ . Angle au sommet $= 180° - 65° - 65° = 180° - 130° = \mathbf{50°}$ .

Exercice 4

Dans un triangle, deux angles mesurent 50° et 70°. Quel est le troisième ? Ce triangle est-il rectangle, isocèle ou quelconque ?

Corrigé

Troisième angle : $180° - 50° - 70° = 60°$ . Trois angles différents → triangle quelconque.

Exercice 5

Quel quadrilatère possède des diagonales perpendiculaires ET égales ?

Corrigé

Rectangle → diagonales égales. Losange → diagonales perpendiculaires. Carré → les deux à la fois : égales ET perpendiculaires. C'est la seule figure qui réunit ces deux propriétés.

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