Actions de groupe

Quelles sont les deux conditions définissant une action de groupe $G\times X\to X$ ?

Ce sont les deux axiomes définissant une action de groupe : l'identité agit trivialement, et la composition des actions correspond à la multiplication dans le groupe.

Vrai ou faux : le stabilisateur $\text{Stab}(x)$ est toujours un sous-groupe de $G$.

Vrai. On vérifie facilement que $\text{Stab}(x)$ contient $e$, est stable par produit et par inverse — c'est un sous-groupe pour toute action.

Que dit le théorème orbite-stabilisateur ?

Le théorème orbite-stabilisateur établit que la taille de l'orbite multipliée par la taille du stabilisateur donne exactement l'ordre du groupe.

Vrai ou faux : pour l'action de conjugaison, l'orbite d'un élément $x$ est appelée sa classe de conjugaison.

Vrai. C'est la terminologie standard : l'orbite de $x$ sous l'action $g\cdot x=gxg^{-1}$ est exactement l'ensemble $\{gxg^{-1}:g\in G\}$, appelée classe de conjugaison de $x$.

Quel est le centre $Z(S_3)$ du groupe symétrique $S_3$ ?

$S_3$ est non abélien et son centre est trivial, $Z(S_3)=\{e\}$ : aucun élément non trivial ne commute avec tous les autres (cohérent avec l'équation aux classes $6=1+2+3$ du cours).

Pour l'action de $S_3$ sur $\{1,2,3\}$, quel est le stabilisateur de $1$ ?

Le stabilisateur de $1$ regroupe les permutations qui fixent $1$ : l'identité et la transposition $(23)$ (qui échange $2$ et $3$ sans toucher $1$). Sa taille est $2=6/3$, cohérent avec orbite-stabilisateur.

Si $|G|=20$ et que l'orbite d'un point $x$ a $4$ éléments, quelle est la taille du stabilisateur de $x$ ?

Par orbite-stabilisateur, $|\text{Stab}(x)|=|G|/|\text{Orb}(x)|=20/4=5$.

Vrai ou faux : les orbites d'une action de groupe partitionnent toujours l'ensemble $X$.

Vrai. La relation $x\sim y\iff\exists g\in G,\,y=g\cdot x$ est une relation d'équivalence (réflexivité via $e$, symétrie via $g^{-1}$, transitivité via la composition), donc ses classes d'équivalence — les orbites — partitionnent $X$.

Pour l'action de $G$ sur lui-même par translation à gauche ($g\cdot x=gx$), quel est le stabilisateur d'un élément quelconque $x\in G$ ?

Si $g\cdot x=x$, alors $gx=x$, donc $g=xx^{-1}=e$ (en multipliant à droite par $x^{-1}$) : le stabilisateur de tout point est toujours trivial pour l'action par translation. Cette action a une seule orbite ($G$ tout entier, action transitive) et est dite libre.

Démontrer que pour l'action de conjugaison, le stabilisateur de $x$ (le centralisateur $C_G(x)$) est bien un sous-groupe de $G$.

Reformulation. $C_G(x)=\{g\in G:gxg^{-1}=x\}=\{g\in G:gx=xg\}$ (en multipliant à droite par $g$).

Contient l'élément neutre. $ex=xe$ trivialement, donc $e\in C_G(x)$.

Stable par produit. Si $g,h\in C_G(x)$ (donc $gx=xg$ et $hx=xh$), alors :

Stable par inverse. Si $g\in C_G(x)$, donc $gx=xg$, en multipliant à gauche par $g^{-1}$ et à droite par $g^{-1}$ : $x=g^{-1}xg$, soit $xg^{-1}=g^{-1}x$, donc $g^{-1}\in C_G(x)$.

Conclusion. $C_G(x)$ contient $e$, est stable par produit et par passage à l'inverse : c'est bien un sous-groupe de $G$. $\square$

Démontrer le théorème orbite-stabilisateur : construire une bijection explicite entre $\text{Orb}(x)$ et $G/\text{Stab}(x)$.

Construction de l'application. Définissons $\varphi:G/\text{Stab}(x)\to\text{Orb}(x)$ par $\varphi(g\cdot\text{Stab}(x))=g\cdot x$ (où $g\cdot\text{Stab}(x)$ désigne la classe à gauche de $g$).

Bonne définition (indépendance du représentant). Si $g\cdot\text{Stab}(x)=h\cdot\text{Stab}(x)$ (même classe), alors $h^{-1}g\in\text{Stab}(x)$, donc $(h^{-1}g)\cdot x=x$. En appliquant $h$ des deux côtés (action de groupe) : $g\cdot x=h\cdot((h^{-1}g)\cdot x)$... plus directement, $h\cdot((h^{-1}g)\cdot x)=(hh^{-1}g)\cdot x=g\cdot x$, et comme $(h^{-1}g)\cdot x=x$, on a $h\cdot x=g\cdot x$. Donc $\varphi$ ne dépend pas du choix du représentant.

Injectivité. Si $\varphi(g\cdot\text{Stab}(x))=\varphi(h\cdot\text{Stab}(x))$, c'est-à-dire $g\cdot x=h\cdot x$, alors $(h^{-1}g)\cdot x=h^{-1}\cdot(g\cdot x)=h^{-1}\cdot(h\cdot x)=x$, donc $h^{-1}g\in\text{Stab}(x)$, donc $g\cdot\text{Stab}(x)=h\cdot\text{Stab}(x)$.

Surjectivité. Tout élément de $\text{Orb}(x)$ s'écrit $g\cdot x$ pour un certain $g\in G$ (par définition de l'orbite), donc est l'image de $g\cdot\text{Stab}(x)$ par $\varphi$.

Conclusion. $\varphi$ est une bijection, donc $|\text{Orb}(x)|=|G/\text{Stab}(x)|=\dfrac{|G|}{|\text{Stab}(x)|}$ (pour $G$ fini). $\square$

Démontrer l'équation aux classes $|G|=|Z(G)|+\sum_i|G|/|C_G(x_i)|$ à partir de la partition de $G$ en classes de conjugaison.

Partition de $G$. L'action de conjugaison de $G$ sur lui-même partitionne $G$ en classes de conjugaison (les orbites de cette action). Donc $|G|=\displaystyle\sum_{\text{classes}}|\text{classe}|$.

Taille de chaque classe. Par le théorème orbite-stabilisateur appliqué à l'action de conjugaison, la classe de $x$ a pour taille $|G|/|C_G(x)|$ (le stabilisateur étant le centralisateur).

Identification des classes de taille $1$. La classe de $x$ est réduite à $\{x\}$ si et seulement si $gxg^{-1}=x$ pour tout $g\in G$, c'est-à-dire $x$ commute avec tout élément de $G$ — exactement la définition de $x\in Z(G)$. Donc les classes de taille $1$ correspondent bijectivement aux éléments du centre, et leur contribution totale à la somme est $|Z(G)|$.

Séparation des classes restantes. En isolant ces classes triviales de la somme totale, et en notant $x_i$ un représentant de chaque classe de conjugaison non triviale (taille $>1$) :

Vrai ou faux : si $G$ agit transitivement sur $X$ (une seule orbite), alors pour tout $x\in X$, $|X|=|G|/|\text{Stab}(x)|$.

Vrai. Si l'action est transitive, $\text{Orb}(x)=X$ pour tout $x$, donc le théorème orbite-stabilisateur donne directement $|X|=|\text{Orb}(x)|=|G|/|\text{Stab}(x)|$.

Soit $G$ un groupe d'ordre $p^2$ ($p$ premier). Démontrer, en utilisant l'équation aux classes, que $G$ a un centre non trivial ($Z(G)\neq\{e\}$) — un résultat clé pour la classification des $p$-groupes.

Équation aux classes. $|G|=|Z(G)|+\displaystyle\sum_i\dfrac{|G|}{|C_G(x_i)|}$, où la somme porte sur les classes de conjugaison non triviales (représentants $x_i\notin Z(G)$).

Étude de $|C_G(x_i)|$ pour $x_i\notin Z(G)$. Comme $C_G(x_i)$ est un sous-groupe de $G=p^2$, par Lagrange $|C_G(x_i)|\in\{1,p,p^2\}$. Comme $x_i\notin Z(G)$, $C_G(x_i)\neq G$, donc $|C_G(x_i)|\neq p^2$. De plus, $C_G(x_i)$ contient toujours le sous-groupe cyclique $\langle x_i\rangle$ engendré par $x_i$ (car $x_i$ commute trivialement avec lui-même et ses puissances), qui a au moins $p$ éléments (puisque $x_i\neq e$, son ordre divise $p^2$ donc vaut $p$ ou $p^2$, donc $\geq p$). Donc $|C_G(x_i)|\geq p$, ce qui élimine $|C_G(x_i)|=1$. Conclusion : $|C_G(x_i)|=p$ exactement pour toute classe non triviale.

Calcul de chaque terme. Pour chaque classe non triviale, $\dfrac{|G|}{|C_G(x_i)|}=\dfrac{p^2}{p}=p$.

Conséquence sur l'équation aux classes. $p^2=|Z(G)|+kp$ où $k$ est le nombre de classes de conjugaison non triviales. Donc $|Z(G)|=p^2-kp=p(p-k)$, qui est divisible par $p$.

Conclusion. Comme $e\in Z(G)$ toujours, $|Z(G)|\geq1$. Combiné à $p\mid|Z(G)|$, on a nécessairement $|Z(G)|\geq p>1$ : le centre est non trivial. $\square$ (Ce résultat est la première étape vers la démonstration que tout groupe d'ordre $p^2$ est abélien.)

Démontrer que si $G$ agit sur un ensemble fini $X$ et que $x,y$ sont dans la même orbite, alors $\text{Stab}(x)$ et $\text{Stab}(y)$ sont des sous-groupes conjugués (donc isomorphes).

Mise en place. Comme $y$ est dans l'orbite de $x$, il existe $g\in G$ tel que $y=g\cdot x$.

Inclusion $g\,\text{Stab}(x)\,g^{-1}\subseteq\text{Stab}(y)$. Soit $h\in\text{Stab}(x)$ (donc $h\cdot x=x$). Calculons l'action de $ghg^{-1}$ sur $y$ :

Inclusion réciproque $\text{Stab}(y)\subseteq g\,\text{Stab}(x)\,g^{-1}$. Soit $k\in\text{Stab}(y)$ (donc $k\cdot y=y$). Calculons :

Conclusion. Les deux inclusions donnent $\text{Stab}(y)=g\,\text{Stab}(x)\,g^{-1}$ : les stabilisateurs de deux points d'une même orbite sont conjugués dans $G$. Comme la conjugaison par un élément fixé $g$ (l'application $h\mapsto ghg^{-1}$) est un isomorphisme de groupe, $\text{Stab}(x)$ et $\text{Stab}(y)$ sont isomorphes. $\square$