Bases hilbertiennes et lien avec les séries de Fourier

Que dit l'inégalité de Bessel pour une famille orthonormée $(e_n)$ et $x\in H$ ?

L'inégalité de Bessel est une majoration valable pour toute famille orthonormée (pas seulement une base hilbertienne) — c'est seulement pour une base hilbertienne complète que l'égalité de Parseval est garantie.

Vrai ou faux : une base hilbertienne est une famille orthonormée dont l'espace engendré est dense dans $H$.

Vrai. C'est exactement la condition supplémentaire (« totalité » ou densité du Vect) qui distingue une base hilbertienne d'une simple famille orthonormée — sans cette condition, l'égalité de Parseval n'est pas garantie.

Quelle famille de fonctions forme une base hilbertienne de $L^2([-\pi,\pi])$ ?

La famille exponentielle complexe $(e^{inx})_{n\in\mathbb{Z}}$ est précisément la base hilbertienne associée aux séries de Fourier — c'est le résultat qui justifie rigoureusement la décomposition en série de Fourier comme un cas particulier de décomposition dans une base orthonormée.

Vrai ou faux : l'égalité de Parseval transforme l'inégalité de Bessel en égalité, lorsque la famille orthonormée est une base hilbertienne.

Vrai. C'est exactement la différence entre une simple famille orthonormée (Bessel, inégalité) et une base hilbertienne complète (Parseval, égalité) — la densité du Vect garantit qu'aucune « masse » de $x$ n'échappe à la décomposition.

Qu'est-ce qu'un espace de Hilbert séparable ?

Un espace de Hilbert séparable est celui qui possède une base hilbertienne dénombrable — c'est le cas de $L^2$, $\ell^2$, $\mathbb{R}^n$, qui couvrent l'immense majorité des applications pratiques.

Pour $x\in H$ avec $\|x\|=5$ et une famille orthonormée $(e_n)$ telle que $\langle x,e_1\rangle=3$, $\langle x,e_2\rangle=2$, que peut-on dire de $\langle x,e_3\rangle$ d'après Bessel ?

Bessel donne $3^2+2^2+|\langle x,e_3\rangle|^2\leq5^2=25$ (en ne considérant que ces trois premiers termes parmi une somme potentiellement plus grande), donc $|\langle x,e_3\rangle|^2\leq25-9-4=12$, soit $|\langle x,e_3\rangle|\leq\sqrt{12}=2\sqrt3$.

Pourquoi la convergence $x=\sum_nc_ne_n$ dans l'égalité de Parseval est-elle une convergence "dans $H$" (au sens de la norme) plutôt qu'une convergence ponctuelle ?

La convergence "dans $H$" (norme $L^2$) ne dit rien directement sur la convergence ponctuelle en un point précis — c'est pourquoi le théorème de Dirichlet (convergence ponctuelle des séries de Fourier) est un résultat distinct et plus délicat que l'égalité de Parseval (convergence en norme $L^2$, valable sans hypothèse de régularité supplémentaire comme $\mathcal{C}^1$ par morceaux).

Vrai ou faux : la somme partielle de Fourier $S_Nf$ est la meilleure approximation de $f$ par un polynôme trigonométrique de degré $\leq N$, au sens de la norme $L^2$.

Vrai. C'est exactement la conséquence du fait que $S_Nf$ est la projection orthogonale de $f$ sur l'espace des polynômes trigonométriques de degré $\leq N$ : par le théorème de projection, c'est l'élément de cet espace minimisant la distance $L^2$ à $f$.

Pour $f\in L^2([-\pi,\pi])$ avec coefficients de Fourier complexes $c_n$ tels que $\sum_n|c_n|^2=4$, que vaut $\dfrac{1}{2\pi}\displaystyle\int_{-\pi}^\pi|f|^2\,dx$ ?

Par l'égalité de Parseval, $\|f\|^2=\dfrac{1}{2\pi}\displaystyle\int_{-\pi}^\pi|f|^2dx=\sum_n|c_n|^2=4$.

Démontrer l'inégalité de Bessel $\sum_{n=1}^N|c_n|^2\leq\|x\|^2$ en utilisant la décomposition orthogonale de $x$ sur $F_N=\text{Vect}(e_1,\dots,e_N)$.

Décomposition orthogonale. Posons $F_N=\text{Vect}(e_1,\dots,e_N)$. Par le théorème de projection, $x=p_{F_N}(x)+(x-p_{F_N}(x))$, avec ces deux termes orthogonaux.

Application de Pythagore (niveau 1).

Calcul de $\|p_{F_N}(x)\|^2$. Comme $(e_1,\dots,e_N)$ est orthonormée, la formule de projection donne $p_{F_N}(x)=\displaystyle\sum_{n=1}^Nc_ne_n$. Par Pythagore généralisé (les $c_ne_n$ étant deux à deux orthogonaux, car les $e_n$ le sont) :

Conclusion. En combinant : $\displaystyle\sum_{n=1}^N|c_n|^2 = \|p_{F_N}(x)\|^2 \leq \|x\|^2$. $\square$

Démontrer que, pour une famille orthonormée $(e_n)_{n\geq1}$ quelconque (pas nécessairement totale), la série $\sum_nc_ne_n$ (avec $c_n=\langle x,e_n\rangle$) converge toujours dans $H$ (espace de Hilbert), en utilisant le critère de Cauchy et l'inégalité de Bessel.

Étude des sommes partielles. Posons $S_N=\displaystyle\sum_{n=1}^Nc_ne_n$. Pour $M>N$ :

Utilisation de Bessel. Par l'inégalité de Bessel (exercice précédent), $\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}|c_n|^2\leq\|x\|^2<\infty$ : c'est une série numérique convergente (à termes positifs, majorée). Par le critère de Cauchy pour les séries numériques, son reste tend vers $0$ :

Conséquence : $(S_N)$ est de Cauchy dans $H$. D'après l'égalité ci-dessus, $\|S_M-S_N\|^2\to0$ quand $N,M\to+\infty$, donc $(S_N)_N$ est une suite de Cauchy dans $H$.

Conclusion via la complétude. Comme $H$ est un espace de Hilbert (donc complet par définition), toute suite de Cauchy y converge. Donc $(S_N)$ converge dans $H$ vers une limite, qu'on note naturellement $\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}c_ne_n$. $\square$ Ce résultat utilise de façon essentielle la complétude : dans un espace préhilbertien non complet, cette série pourrait ne pas converger (sa limite « idéale » pourrait sortir de l'espace).

Démontrer que si $(e_n)$ est une base hilbertienne et $x=\sum_nc_ne_n$, $y=\sum_nd_ne_n$, alors $\langle x,y\rangle=\sum_nc_n\overline{d_n}$ (identité de Parseval généralisée, cas réel : $\sum_nc_nd_n$).

Continuité du produit scalaire. Le produit scalaire $\langle\cdot,\cdot\rangle$ est continu (conséquence de Cauchy-Schwarz), donc si $S_N(x)=\displaystyle\sum_{n=1}^Nc_ne_n\to x$ et $S_N(y)=\displaystyle\sum_{n=1}^Nd_ne_n\to y$ dans $H$, alors :

Calcul de $\langle S_N(x),S_N(y)\rangle$ (cas réel). Par bilinéarité :

Comme $\langle e_n,e_m\rangle=\delta_{nm}$ (orthonormalité), seuls les termes $n=m$ survivent dans la double somme :

Passage à la limite. En faisant $N\to+\infty$ :

(Le cas $x=y$ redonne exactement l'égalité de Parseval $\|x\|^2=\sum_nc_n^2$ du paragraphe 2.)

Vrai ou faux : si une famille orthonormée $(e_n)_{n\geq1}$ vérifie $\sum_n|\langle x,e_n\rangle|^2=\|x\|^2$ pour tout $x\in H$ (égalité de Parseval pour tout $x$), alors $(e_n)$ est nécessairement une base hilbertienne.

Vrai. C'est une caractérisation équivalente des bases hilbertiennes : une famille orthonormée vérifiant l'égalité de Parseval pour tout $x\in H$ est nécessairement totale (sinon il existerait un $x\neq0$ orthogonal à tous les $e_n$, pour lequel l'égalité de Parseval donnerait $\|x\|^2=\sum_n0=0$, contredisant $x\neq0$).

Démontrer que si $(e_n)$ est une base hilbertienne et $x\neq0$ est orthogonal à tous les $e_n$ (c'est-à-dire $\langle x,e_n\rangle=0$ pour tout $n$), on obtient une contradiction — confirmant qu'aucun vecteur non nul n'est orthogonal à une base hilbertienne complète.

Hypothèse. Supposons $x\neq0$ et $\langle x,e_n\rangle=0$ pour tout $n\geq1$.

Application de l'égalité de Parseval. Comme $(e_n)$ est une base hilbertienne (donc l'égalité de Parseval s'applique à tout élément de $H$, en particulier à $x$) :

Conséquence. $\|x\|^2=0$ implique $\|x\|=0$, et comme la norme issue d'un produit scalaire est définie positive, cela force $x=0$.

Contradiction. Ceci contredit l'hypothèse $x\neq0$. $\square$

Conclusion : aucun vecteur non nul de $H$ ne peut être orthogonal à tous les éléments d'une base hilbertienne — c'est exactement la traduction, en langage de produit scalaire, du fait que le Vect des $e_n$ est dense dans $H$ (un vecteur orthogonal à une partie dense de $H$ est nécessairement nul, par continuité du produit scalaire).

Soit $f(x)=x$ sur $[-\pi,\pi]$ (la « dents de scie », déjà étudiée en série de Fourier avec $b_n=2(-1)^{n+1}/n$, $a_n=0$). Utiliser l'égalité de Parseval pour retrouver $\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\frac1{n^2}=\frac{\pi^2}{6}$, en partant de $\dfrac{1}{2\pi}\displaystyle\int_{-\pi}^\pi x^2\,dx=\dfrac{\pi^2}{3}$ et de la forme de Parseval en coefficients trigonométriques $\dfrac1{2\pi}\displaystyle\int|f|^2=\dfrac{a_0^2}{4}+\dfrac12\sum(a_n^2+b_n^2)$.

Membre de gauche (donné). $\dfrac{1}{2\pi}\displaystyle\int_{-\pi}^\pi x^2\,dx = \dfrac{\pi^2}{3}$ (calcul direct déjà effectué dans le cours de Fourier).

Membre de droite — coefficients de la dents de scie. $a_0=0$ et $a_n=0$ pour tout $n$ (fonction impaire), et $b_n=\dfrac{2(-1)^{n+1}}{n}$, donc $b_n^2=\dfrac{4}{n^2}$.

Application de Parseval (forme trigonométrique) :

Égalisation des deux membres.

Conclusion.

Ce calcul retrouve, par un chemin légèrement différent (la fonction « dents de scie » plutôt que le « créneau » utilisé dans la leçon « Séries de Fourier »), le célèbre problème de Bâle — confirmant que l'égalité de Parseval, vue ici dans le cadre général des espaces de Hilbert, est exactement le même outil que celui déjà exploité dans l'étude des séries de Fourier.