Produit scalaire et espaces préhilbertiens

Quelles sont les propriétés caractérisant un produit scalaire ?

Un produit scalaire doit être bilinéaire (linéaire en chaque variable), symétrique, et défini positif ($\langle x,x\rangle>0$ pour $x\neq0$) — ces trois propriétés garantissent qu'il définit bien une norme via $\|x\|=\sqrt{\langle x,x\rangle}$.

Vrai ou faux : l'inégalité de Cauchy-Schwarz énonce $|\langle x,y\rangle|\leq\|x\|\,\|y\|$.

Vrai. C'est l'inégalité fondamentale de tout espace préhilbertien, avec égalité si et seulement si $x,y$ sont colinéaires.

Qu'est-ce qu'un espace de Hilbert ?

Un espace de Hilbert est, par définition, un espace préhilbertien (muni d'un produit scalaire) qui est de plus complet pour la norme associée — toute suite de Cauchy y converge.

Vrai ou faux : tout espace vectoriel de dimension finie muni d'un produit scalaire est automatiquement complet, donc un espace de Hilbert.

Vrai. En dimension finie, toutes les normes sont équivalentes et l'espace est toujours complet (résultat classique de topologie) — la subtilité de la complétude n'apparaît qu'en dimension infinie.

Que dit le théorème de Pythagore dans un espace préhilbertien ?

Le théorème de Pythagore généralisé dit que si $x$ et $y$ sont orthogonaux ($\langle x,y\rangle=0$), alors $\|x+y\|^2=\|x\|^2+2\langle x,y\rangle+\|y\|^2=\|x\|^2+\|y\|^2$.

Dans $\mathbb{R}^3$ muni du produit scalaire usuel, calculer $\langle u,v\rangle$ pour $u=(1,2,3)$ et $v=(4,-1,2)$.

$\langle u,v\rangle=1\times4+2\times(-1)+3\times2=4-2+6=8$.

Vérifier que $\cos(x)$ et $\sin(2x)$ sont orthogonaux pour le produit scalaire $\langle f,g\rangle=\int_{-\pi}^\pi fg\,dt$.

$t\mapsto\cos(t)\sin(2t)$ est le produit d'une fonction paire ($\cos$) et d'une fonction impaire ($\sin(2\cdot)$), donc impaire ; son intégrale sur l'intervalle symétrique $[-\pi,\pi]$ est nulle.

Pour $x=(3,4)$ dans $\mathbb{R}^2$ (norme euclidienne), vérifier l'inégalité de Cauchy-Schwarz avec $y=(1,0)$.

$\langle x,y\rangle=3\times1+4\times0=3$. $\|x\|=\sqrt{9+16}=5$, $\|y\|=1$. On vérifie $3\leq5\times1=5$ : l'inégalité est bien vérifiée (et non saturée, car $x,y$ ne sont pas colinéaires).

Vrai ou faux : l'espace des polynômes (de degré quelconque) muni du produit scalaire $\langle P,Q\rangle=\int_0^1PQ\,dt$ est un espace de Hilbert.

Faux. C'est un espace préhilbertien, mais il n'est pas complet : on peut construire une suite de Cauchy de polynômes dont la limite (pour cette norme) n'est pas un polynôme (par exemple une suite de polynômes approximant une fonction continue non polynomiale, comme les sommes partielles d'une série de Taylor d'une fonction transcendante). Sa complétion est l'espace $L^2([0,1])$, qui lui est un espace de Hilbert.

Démontrer l'identité du parallélogramme $\|x+y\|^2+\|x-y\|^2=2\|x\|^2+2\|y\|^2$ en développant les produits scalaires.

Développement de $\|x+y\|^2$. Par bilinéarité et symétrie du produit scalaire :

Développement de $\|x-y\|^2$. De même :

Somme des deux. En additionnant les deux égalités, les termes croisés $2\langle x,y\rangle$ et $-2\langle x,y\rangle$ s'annulent :

Démontrer l'inégalité de Cauchy-Schwarz $|\langle x,y\rangle|\leq\|x\|\|y\|$ en étudiant le signe de $\|x-ty\|^2$ pour $t\in\mathbb{R}$ (cas $y\neq0$).

Construction du polynôme. Pour $y\neq0$ et $t\in\mathbb{R}$ quelconque, on a $\|x-ty\|^2\geq0$ (toujours, car c'est une norme au carré). En développant :

Discriminant. $P$ est un polynôme du second degré en $t$, à coefficient dominant $\|y\|^2>0$ (car $y\neq0$), toujours positif ou nul. Son discriminant doit donc être négatif ou nul :

Conclusion. D'où $\langle x,y\rangle^2\leq\|x\|^2\|y\|^2$, et en prenant la racine carrée (quantités positives) :

(Le cas $y=0$ est trivial : les deux membres sont nuls.)

Démontrer que dans $\ell^2$ (suites de carré sommable), le produit scalaire $\langle u,v\rangle=\sum_{n}u_nv_n$ est bien défini (la série converge) pour tous $u,v\in\ell^2$.

Inégalité élémentaire. Pour tous réels $a,b$, on a $2|ab|\leq a^2+b^2$ (conséquence de $(|a|-|b|)^2\geq0$). En appliquant à $a=u_n,b=v_n$ :

Sommation. En sommant sur $n$ :

Comme $u,v\in\ell^2$, par définition $\sum_nu_n^2<\infty$ et $\sum_nv_n^2<\infty$, donc le membre de droite est fini.

Conclusion. La série $\sum_nu_nv_n$ est donc absolument convergente (donc convergente), ce qui montre que $\langle u,v\rangle=\sum_nu_nv_n$ est bien défini pour tous $u,v\in\ell^2$. $\square$ Ce résultat est l'analogue, en dimension infinie, du fait évident qu'une somme finie de produits est toujours bien définie ; c'est précisément la condition « carré sommable » qui rend ce produit scalaire licite en dimension infinie.

Vrai ou faux : si $\|x+y\|=\|x\|+\|y\|$ dans un espace préhilbertien, alors $x$ et $y$ sont nécessairement positivement colinéaires (l'un est un multiple positif de l'autre, ou l'un des deux est nul).

Vrai. C'est le cas d'égalité dans l'inégalité triangulaire, qui se ramène au cas d'égalité de Cauchy-Schwarz (avec $\langle x,y\rangle=\|x\|\|y\|$, qui exige non seulement la colinéarité mais un coefficient de proportionnalité positif, contrairement au cas d'égalité général de Cauchy-Schwarz qui autorise un coefficient de signe quelconque).

Démontrer que la norme $\|x\|_\infty=\sup_i|x_i|$ sur $\mathbb{R}^2$ ne provient d'aucun produit scalaire, en exhibant un contre-exemple à l'identité du parallélogramme.

Choix du contre-exemple. Prenons $x=(1,0)$ et $y=(0,1)$ dans $\mathbb{R}^2$.

Calcul des normes. $\|x\|_\infty=\max(|1|,|0|)=1$ et $\|y\|_\infty=\max(|0|,|1|)=1$. $x+y=(1,1)$, donc $\|x+y\|_\infty=\max(1,1)=1$. $x-y=(1,-1)$, donc $\|x-y\|_\infty=\max(1,1)=1$.

Test de l'identité du parallélogramme. On devrait avoir $\|x+y\|_\infty^2+\|x-y\|_\infty^2=2\|x\|_\infty^2+2\|y\|_\infty^2$. Calculons les deux membres :

Conclusion. Comme $2\neq4$, l'identité du parallélogramme échoue pour cette norme. Par la contraposée du théorème de Jordan-von Neumann (une norme provenant d'un produit scalaire vérifie nécessairement cette identité), $\|\cdot\|_\infty$ ne provient d'aucun produit scalaire. $\square$ Cela illustre que toutes les normes ne sont pas « hilbertiennes » — seules certaines normes particulières (comme la norme euclidienne ou la norme $L^2$) ont cette structure géométrique enrichie.

Démontrer que dans tout espace préhilbertien, $\|x\|=\displaystyle\sup_{\|y\|=1}\langle x,y\rangle$ (caractérisation variationnelle de la norme via le produit scalaire), pour $x\neq0$.

Majoration via Cauchy-Schwarz. Pour tout $y$ avec $\|y\|=1$, l'inégalité de Cauchy-Schwarz donne :

Donc $\displaystyle\sup_{\|y\|=1}\langle x,y\rangle \leq \|x\|$.

Atteinte de la borne. Posons $y_0=\dfrac{x}{\|x\|}$ (bien défini car $x\neq0$), qui vérifie $\|y_0\|=1$. Calculons :

Conclusion. La borne supérieure $\|x\|$ est donc atteinte par ce choix particulier de $y_0$, ce qui montre que le supremum vaut exactement $\|x\|$ (et non une valeur strictement inférieure) :

Cette caractérisation variationnelle est très utilisée en analyse fonctionnelle, notamment pour définir la norme d'opérateurs linéaires continus entre espaces de Hilbert (norme d'opérateur comme un supremum de ce type).