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3ème · Identités remarquables

Développer avec les identités remarquables

Introduction

Au lieu de développer une expression comme (x+5)2(x+5)^2 en repassant chaque fois par la distributivité, on peut utiliser des formules toutes faites, appelées identités remarquables, qui accélèrent considérablement le calcul.

Les trois identités remarquables


IdentitéFormule développée
|---|---|



Carré d'une somme(a+b)2=a2+2ab+b2(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2
Carré d'une différence(a−b)2=a2−2ab+b2(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2
Produit d'une somme et d'une différence(a+b)(a−b)=a2−b2(a+b)(a-b) = a^2 - b^2

📌 Méthode

Pour développer une expression de la forme (a+b)2(a+b)^2, (a−b)2(a-b)^2 ou (a+b)(a−b)(a+b)(a-b) : repérer aa et bb, puis appliquer directement la formule correspondante, sans repasser par la distributivité terme à terme.

Pourquoi ces formules sont-elles vraies ?

On peut les retrouver avec la double distributivité : (a+b)2=(a+b)(a+b)=a2+ab+ba+b2=a2+2ab+b2(a+b)^2 = (a+b)(a+b) = a^2+ab+ba+b^2 = a^2+2ab+b^2 (car ab=baab=ba).

Exemples

✅ Exemple simple — Développer (x+5)2(x+5)^2

On identifie a=xa = x et b=5b = 5 :

(x+5)2=x2+2×x×5+52=x2+10x+25(x+5)^2 = x^2 + 2\times x \times 5 + 5^2 = x^2 + 10x + 25

📘 Exemple intermédiaire — Développer (2x−3)2(2x-3)^2

On identifie a=2xa = 2x et b=3b = 3 :

(2x−3)2=(2x)2−2×2x×3+32=4x2−12x+9(2x-3)^2 = (2x)^2 - 2\times 2x \times 3 + 3^2 = 4x^2 - 12x + 9

Attention : (2x)2=4x2(2x)^2 = 4x^2, et non 2x22x^2 !

🔴 Exemple avancé — Développer (3x+4)(3x−4)(3x+4)(3x-4)

On reconnaît la forme (a+b)(a−b)(a+b)(a-b) avec a=3xa = 3x et b=4b = 4 :

(3x+4)(3x−4)=(3x)2−42=9x2−16(3x+4)(3x-4) = (3x)^2 - 4^2 = 9x^2 - 16

On peut vérifier en développant terme à terme : 9x2−12x+12x−16=9x2−169x^2 -12x+12x-16 = 9x^2-16 ✓ (les termes en xx s'éliminent, ce qui est la propriété clé de cette identité).

À retenir

- (a+b)2=a2+2ab+b2(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2 : le carré du premier, plus le double produit, plus le carré du second.
- (a−b)2=a2−2ab+b2(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2 : même formule, mais le double produit est soustrait.
- (a+b)(a−b)=a2−b2(a+b)(a-b) = a^2-b^2 : différence des carrés, les termes en abab s'annulent toujours.
- Bien repérer aa et bb avant d'appliquer la formule, en particulier quand aa ou bb contient déjà un coefficient (ex : 2x2x).

Exercices de la leçon

Exercice 1

Développer (x+3)2(x+3)^2 donne :

Corrigé

Avec a=xa=x et b=3b=3 : (x+3)2=x2+2×x×3+32=x2+6x+9(x+3)^2 = x^2+2\times x\times3+3^2 = x^2+6x+9.

Exercice 2

Dans la formule (a−b)2=a2−2ab+b2(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2, le terme b2b^2 est précédé d'un signe moins.

Corrigé

Dans (a−b)2=a2−2ab+b2(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2, seul le double produit 2ab2ab est soustrait ; le terme b2b^2 est toujours positif (un carré est toujours positif).

Exercice 3

Développer (5x−2)2(5x-2)^2 :

Corrigé

Avec a=5xa=5x et b=2b=2 : (5x−2)2=(5x)2−2×5x×2+22=25x2−20x+4(5x-2)^2 = (5x)^2-2\times5x\times2+2^2 = 25x^2-20x+4.

Exercice 4

Développer (7−x)(7+x)(7-x)(7+x) :

Corrigé

(7−x)(7+x)(7-x)(7+x) est de la forme (a−b)(a+b)=a2−b2(a-b)(a+b)=a^2-b^2 avec a=7a=7 et b=xb=x : on obtient 49−x249-x^2.

Exercice 5

Développe l'expression (2x+5)2−(2x−5)2(2x+5)^2 - (2x-5)^2 en utilisant les identités remarquables, puis simplifie au maximum.

Corrigé

On développe chaque identité remarquable séparément, en faisant bien attention aux signes lors de la soustraction, puis on réduit les termes semblables : les termes en x2x^2 et les constantes s'annulent.

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