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3ème · Identités remarquables

Factoriser avec les identités remarquables

Introduction

Factoriser, c'est transformer une somme en un produit. Les identités remarquables se lisent aussi « à l'envers » pour factoriser certaines expressions développées.

Les trois formules, dans le sens « factorisation »


Expression développéeForme factorisée
|---|---|



a2+2ab+b2a^2+2ab+b^2(a+b)2(a+b)^2
a2−2ab+b2a^2-2ab+b^2(a−b)2(a-b)^2
a2−b2a^2-b^2(a+b)(a−b)(a+b)(a-b)

📌 Méthode

1. Vérifier si l'expression a la forme d'une différence de deux carrés (a2−b2a^2-b^2) : c'est souvent le cas le plus facile à repérer.

2. Sinon, vérifier si l'expression a la forme d'un carré développé : trois termes, dont deux sont des carrés (a2a^2 et b2b^2) et le troisième est le double produit ±2ab\pm 2ab.

3. Identifier précisément aa et bb, puis écrire la forme factorisée correspondante.

Le piège classique : une différence de carrés cachée

Une expression comme 4x2−94x^2-9 n'a, à première vue, que deux termes — mais 4x2=(2x)24x^2 = (2x)^2 et 9=329=3^2 sont tous les deux des carrés parfaits. C'est donc bien une différence de carrés, factorisable en (2x−3)(2x+3)(2x-3)(2x+3).

Exemples

✅ Exemple simple — Factoriser x2−25x^2-25

On reconnaît une différence de carrés : x2−25=x2−52x^2-25 = x^2-5^2, avec a=xa=x et b=5b=5 :

x2−25=(x−5)(x+5)x^2-25 = (x-5)(x+5)

📘 Exemple intermédiaire — Factoriser x2+10x+25x^2+10x+25

On reconnaît trois termes : x2x^2 (carré de xx), 25=5225=5^2 (carré de 55), et 10x=2×x×510x = 2\times x\times 5 (double produit). C'est la forme a2+2ab+b2a^2+2ab+b^2 avec a=xa=x, b=5b=5 :

x2+10x+25=(x+5)2x^2+10x+25 = (x+5)^2

🔴 Exemple avancé — Factoriser 9x2−12x+49x^2-12x+4 (piège : repérer le bon aa et le bon bb)

On a 9x2=(3x)29x^2=(3x)^2 et 4=224=2^2, donc a=3xa=3x et b=2b=2. On vérifie le double produit : 2×3x×2=12x2\times 3x\times 2 = 12x. Comme le terme est −12x-12x, on retient la forme a2−2ab+b2=(a−b)2a^2-2ab+b^2=(a-b)^2 :

9x2−12x+4=(3x−2)29x^2-12x+4 = (3x-2)^2

Vérification : (3x−2)2=9x2−12x+4(3x-2)^2 = 9x^2-12x+4 ✓ (on peut redévelopper pour contrôler son résultat).

À retenir

- a2+2ab+b2=(a+b)2a^2+2ab+b^2 = (a+b)^2 et a2−2ab+b2=(a−b)2a^2-2ab+b^2=(a-b)^2 : repérer les deux carrés puis vérifier le double produit.
- a2−b2=(a+b)(a−b)a^2-b^2 = (a+b)(a-b) : dès que l'on voit une différence de deux carrés parfaits, même cachés comme 4x2−9=(2x)2−324x^2-9=(2x)^2-3^2, on peut factoriser ainsi.
- Toujours vérifier sa factorisation en redéveloppant le résultat trouvé : on doit retomber sur l'expression de départ.

Exercices de la leçon

Exercice 1

Factoriser x2−64x^2-64 :

Corrigé

x2−64=x2−82x^2-64 = x^2-8^2 est une différence de carrés, qui se factorise en (x−8)(x+8)(x-8)(x+8).

Exercice 2

L'expression 4x2−94x^2-9 peut être factorisée à l'aide d'une identité remarquable, car 4x24x^2 et 99 sont tous les deux des carrés parfaits.

Corrigé

4x2=(2x)24x^2=(2x)^2 et 9=329=3^2 : c'est bien une différence de deux carrés, donc 4x2−9=(2x−3)(2x+3)4x^2-9=(2x-3)(2x+3).

Exercice 3

Factoriser x2+8x+16x^2+8x+16 :

Corrigé

x2=x2x^2=x^2, 16=4216=4^2, et le double produit 2×x×4=8x2\times x\times 4=8x correspond bien au terme central : x2+8x+16=(x+4)2x^2+8x+16=(x+4)^2.

Exercice 4

Factoriser 16x2−116x^2-1 :

Corrigé

16x2=(4x)216x^2=(4x)^2 et 1=121=1^2 : c'est une différence de carrés, 16x2−1=(4x−1)(4x+1)16x^2-1=(4x-1)(4x+1).

Exercice 5

Factoriser entièrement l'expression A=25x2−20x+4−(9x2−1)A = 25x^2-20x+4-(9x^2-1) en détaillant chaque étape (développe d'abord la parenthèse précédée du signe moins, regroupe, puis factorise le résultat).

Corrigé

Il faut repérer que chaque partie de l'expression correspond séparément à une identité remarquable (25x2−20x+425x^2-20x+4 est un carré, 9x2−19x^2-1 est une différence de carrés), puis exprimer le résultat sous forme factorisée plutôt que de tout redévelopper.

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