Aires et volumes

L'aire entre $f(x) = x^2$ et $g(x) = x$ sur $[0, 1]$ vaut :

Sur $[0,1]$, $g(x) = x \geq x^2 = f(x)$. Aire $= \int_0^1 (x - x^2)\, dx = \left[\frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3}\right]_0^1 = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{1}{6}$.

Vrai ou faux : le volume de révolution engendré par la rotation de la courbe de $f$ autour de l'axe $(Ox)$ sur $[a,b]$ est donné par $V=\pi\int_a^b f(x)\,dx$.

Faux : la formule correcte fait intervenir le carré de $f$ : $V=\pi\int_a^b [f(x)]^2\,dx$, car chaque tranche est un disque d'aire $\pi r^2$ avec $r=f(x)$.

Calcule l'aire entre la courbe de $f(x)=4-x^2$ et l'axe des abscisses, sur l'intervalle où $f(x)\geqslant 0$ (c'est-à-dire $[-2,2]$).

Comme $f(x)\geqslant0$ sur $[-2,2]$ (racines de $4-x^2$), l'aire sous la courbe est directement donnée par l'intégrale de $f$ sur cet intervalle.

Calcule le volume du solide engendré par la rotation autour de l'axe $(Ox)$ de la courbe de $f(x)=\sqrt{x}$ sur $[0,4]$.

On élève $f(x)=\sqrt{x}$ au carré pour obtenir $x$, ce qui simplifie considérablement le calcul de l'intégrale.

Les courbes de $f(x)=x^2$ et $g(x)=2x$ se coupent en $x=0$ et $x=2$. Calcule l'aire de la région comprise entre ces deux courbes sur $[0,2]$.

On identifie d'abord quelle courbe est au-dessus de l'autre sur l'intervalle considéré (en testant une valeur intermédiaire), puis on intègre la différence des deux fonctions.