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Terminale · Intégrales définies

Définition et propriétés

L'intégrale définie

Définition (Riemann)

Pour ff continue sur [a,b][a, b], l'intégrale de ff entre aa et bb est :

∫abf(x) dx=lim⁡n→∞∑k=0n−1f ⁣(a+k⋅b−an)⋅b−an\int_a^b f(x)\, dx = \lim_{n \to \infty} \sum_{k=0}^{n-1} f\!\left(a + k \cdot \frac{b-a}{n}\right) \cdot \frac{b-a}{n}

Interprétation géométrique : C'est l'aire algébrique entre la courbe de ff et l'axe des abscisses.

Propriétés fondamentales

Linéarité :

∫ab[λf(x)+μg(x)] dx=λ∫abf(x) dx+μ∫abg(x) dx\int_a^b [\lambda f(x) + \mu g(x)]\, dx = \lambda \int_a^b f(x)\, dx + \mu \int_a^b g(x)\, dx

Relation de Chasles :

∫acf(x) dx=∫abf(x) dx+∫bcf(x) dx\int_a^c f(x)\, dx = \int_a^b f(x)\, dx + \int_b^c f(x)\, dx

Théorème fondamental

Si FF est une primitive de ff sur [a,b][a, b], alors :

∫abf(x) dx=[F(x)]ab=F(b)−F(a)\boxed{\int_a^b f(x)\, dx = [F(x)]_a^b = F(b) - F(a)}

Exercices de la leçon

Exercice 1

Calculer ∫02(3x2+1) dx\displaystyle\int_0^2 (3x^2 + 1)\, dx

Corrigé

Une primitive est F(x)=x3+xF(x) = x^3 + x. Donc ∫02=F(2)−F(0)=(8+2)−0=10\int_0^2 = F(2) - F(0) = (8+2) - 0 = 10.

Exercice 2

Vrai ou faux : si ff est une fonction continue et négative sur [a,b][a,b], alors ∫abf(x) dx\int_a^b f(x)\,dx est négative ou nulle.

Corrigé

Vrai : le signe de l'intégrale est le signe de la fonction sur l'intervalle considéré, lorsque celle-ci garde un signe constant.

Exercice 3

Calcule ∫131x dx\displaystyle\int_1^3 \dfrac{1}{x}\,dx (donner la valeur exacte en fonction de ln⁡\ln).

Corrigé

Une primitive de 1x\dfrac{1}{x} est ln⁡(x)\ln(x). Donc ∫13=ln⁡(3)−ln⁡(1)=ln⁡(3)−0=ln⁡(3)\int_1^3 = \ln(3)-\ln(1) = \ln(3)-0=\ln(3).

Exercice 4

Utilise la relation de Chasles pour exprimer ∫05f(x) dx\int_0^5 f(x)\,dx en fonction de ∫02f(x) dx=4\int_0^2 f(x)\,dx = 4 et ∫25f(x) dx=7\int_2^5 f(x)\,dx = 7.

Corrigé

La relation de Chasles permet de découper un intervalle d'intégration en sous-intervalles et d'additionner les intégrales correspondantes.

Exercice 5

Soit ff continue sur [−3,3][-3,3] et impaire. Que peut-on dire de ∫−33f(x) dx\int_{-3}^{3} f(x)\,dx ? Justifie en utilisant la symétrie de la courbe.

Corrigé

C'est une propriété classique : l'intégrale d'une fonction impaire sur un intervalle symétrique par rapport à 00 est toujours nulle, grâce à la relation de Chasles et à la symétrie de la courbe.

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