Techniques de calcul

Techniques de calcul intégral

Intégration par parties (IPP)

\int_a^b u(x) v'(x)\, dx = [u(x) v(x)]_a^b - \int_a^b u'(x) v(x)\, dx

Exemple : Calculer $\int_0^1 x e^x\, dx$

Posons $u = x$ , $v' = e^x$ , donc $u' = 1$ , $v = e^x$ .

\int_0^1 x e^x\, dx = [xe^x]_0^1 - \int_0^1 e^x\, dx = e - [e^x]_0^1 = e - (e - 1) = 1

Changement de variable

Si $x = \varphi(t)$ avec $\varphi$ dérivable :

\int_{\varphi(\alpha)}^{\varphi(\beta)} f(x)\, dx = \int_{\alpha}^{\beta} f(\varphi(t))\, \varphi'(t)\, dt

Exercices de la leçon

Exercice 1

Par IPP, calculer $\int_0^{\pi} x \cos x\, dx$

Corrigé

Avec $u = x$ , $v' = \cos x$ : $[x \sin x]_0^\pi - \int_0^\pi \sin x\, dx = 0 - [-\cos x]_0^\pi = -(\cos\pi - \cos 0) = -(-1-1) = -2$ .

Exercice 2

Quelle est la primitive générale de $f(x) = e^{2x}$ ?

Corrigé

La primitive de $e^{ax}$ est $\dfrac{1}{a}e^{ax}+C$ . Ici $a=2$ , donc $F(x)=\dfrac{1}{2}e^{2x}+C$ .

Exercice 3

Par changement de variable $t=x^2+1$ , calcule $\displaystyle\int_0^1 2x\sqrt{x^2+1}\,dx$ (valeur exacte).

Corrigé

On repère que $2x\,dx$ correspond exactement à $dt$ après le changement de variable $t=x^2+1$ , ce qui simplifie l'intégrale en une primitive de puissance de $t$ .

Exercice 4

Par IPP, calcule $\displaystyle\int_1^e \ln(x)\,dx$ (en posant $u=\ln(x)$ , $v'=1$ ).

Corrigé

L'astuce classique pour intégrer $\ln(x)$ seul est de l'écrire comme $\ln(x)\times1$ et d'appliquer l'IPP avec $v'=1$ .

Exercice 5

Calcule $\displaystyle\int_0^1 x^2 e^x\,dx$ en appliquant l'intégration par parties deux fois.

Corrigé

Lorsque l'intégrande contient $x^2$ , on applique l'intégration par parties deux fois successivement, en réduisant chaque fois la puissance de $x$ .

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