Limite d'une suite numérique

Convergence et divergence

Une suite $(u_n)$ peut, lorsque $n$ devient très grand, se rapprocher d'un nombre fixe, ou au contraire s'éloigner indéfiniment.

Définition (suite convergente) : on dit que $(u_n)$ converge vers un réel $\ell$ si tout intervalle ouvert contenant $\ell$ contient tous les termes $u_n$ à partir d'un certain rang. On écrit alors :

$\lim_{n \to +\infty} u_n = \ell$

Si une suite ne converge vers aucun réel, on dit qu'elle diverge. La divergence peut se manifester de deux façons :

- $u_n$ tend vers $+\infty$ (ou $-\infty$ ) : pour tout réel $A$ , $u_n > A$ (resp. $u_n < A$ ) à partir d'un certain rang ;
- $u_n$ n'a pas de limite du tout (exemple : $u_n = (-1)^n$ , qui oscille entre $-1$ et $1$ ).

Limites des suites usuelles

Suite

Limite quand

n \to +\infty

|---|---|

$u_n = n$	$+\infty$
$u_n = n^2$ , $n^3$ , ...	$+\infty$
$u_n = \sqrt{n}$	$+\infty$
$u_n = \dfrac{1}{n}$	$0$
$u_n = \dfrac{1}{n^2}$	$0$
$u_n = \dfrac{1}{\sqrt{n}}$	$0$

Opérations sur les limites

Les règles sont les mêmes que pour les fonctions : somme, produit, quotient des limites, avec les mêmes formes indéterminées à traiter : $+\infty - \infty$ , $0 \times \infty$ , $\dfrac{\infty}{\infty}$ , $\dfrac{0}{0}$ .

Exemple : $u_n = 3n - \dfrac{1}{n}$ . On a $\lim 3n = +\infty$ et $\lim -\dfrac{1}{n} = 0$ , donc par somme $\lim u_n = +\infty$ .

Suites arithmétiques et géométriques :

- Une suite arithmétique de raison $r$ : si $r>0$ , $\lim u_n = +\infty$ ; si $r<0$ , $\lim u_n = -\infty$ ; si $r=0$ , la suite est constante.

- Une suite géométrique $u_n = u_0 \times q^n$ dépend fortement de $q$ (voir leçon suivante).

Exercices de la leçon

Exercice 1

Quelle est la limite de la suite $u_n = \dfrac{1}{n^2}$ quand $n \to +\infty$ ?

Corrigé

C'est une limite usuelle : $\dfrac{1}{n^2}$ tend vers $0$ quand $n$ tend vers $+\infty$ , car le dénominateur devient infiniment grand.

Exercice 2

Une suite arithmétique de raison $r = -2$ diverge vers $+\infty$ .

Corrigé

Avec une raison négative ( $r=-2 < 0$ ), une suite arithmétique tend vers $-\infty$ , pas vers $+\infty$ .

Exercice 3

Détermine la limite de la suite $u_n = 5 + \dfrac{3}{n}$ quand $n \to +\infty$ .

Corrigé

On utilise la limite usuelle $\dfrac{1}{n}\to 0$ puis on applique la règle de la somme des limites.

Exercice 4

Quelle est la limite de $u_n = n^2 - n$ quand $n \to +\infty$ ? (Attention à la forme indéterminée.)

Corrigé

Face à une forme indéterminée $\infty - \infty$ , on factorise par le terme de plus haut degré pour lever l'indétermination.

Exercice 5

Soit $(u_n)$ une suite telle que pour tout $n$ , $u_n = \dfrac{2n+1}{n}$ . Quelle est sa limite ?

Corrigé

On écrit $u_n = \dfrac{2n}{n} + \dfrac{1}{n} = 2 + \dfrac{1}{n}$ , et $\dfrac{1}{n}\to 0$ , donc $u_n \to 2$ .

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