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Terminale · Limites de suites et raisonnement par récurrence

Suites géométriques et théorèmes de comparaison

Limite de qnq^n selon les valeurs de qq

Pour une suite géométrique un=qnu_n = q^n, le comportement à l'infini dépend entièrement de la raison qq :


Valeur de qqlim⁡n→+∞qn\lim_{n\to+\infty} q^n
|---|---|





q>1q > 1+∞+\infty
q=1q = 111 (suite constante)
−1<q<1-1 < q < 100
q=−1q = -1pas de limite (oscille entre −1-1 et 11)
q⩽−1q \leqslant -1pas de limite

Exemple : lim⁡n→+∞0,5n=0\lim_{n\to+\infty} 0{,}5^n = 0 car −1<0,5<1-1 < 0{,}5 < 1. Mais lim⁡n→+∞1,5n=+∞\lim_{n\to+\infty} 1{,}5^n = +\infty car 1,5>11{,}5 > 1.

Théorèmes de comparaison

Théorème de comparaison (cas infini) : si, à partir d'un certain rang, un⩾vnu_n \geqslant v_n et lim⁡vn=+∞\lim v_n = +\infty, alors lim⁡un=+∞\lim u_n = +\infty (et de façon symétrique pour −∞-\infty).

Théorème des gendarmes (ou d'encadrement) : si, à partir d'un certain rang, vn⩽un⩽wnv_n \leqslant u_n \leqslant w_n, et si lim⁡vn=lim⁡wn=ℓ\lim v_n = \lim w_n = \ell, alors lim⁡un=ℓ\lim u_n = \ell.

Exemple d'application : soit un=sin⁡(n)nu_n = \dfrac{\sin(n)}{n}. On sait que −1⩽sin⁡(n)⩽1-1 \leqslant \sin(n) \leqslant 1, donc :

−1n⩽un⩽1n-\dfrac{1}{n} \leqslant u_n \leqslant \dfrac{1}{n}

Comme −1n→0-\dfrac{1}{n} \to 0 et 1n→0\dfrac{1}{n}\to 0, le théorème des gendarmes donne lim⁡un=0\lim u_n = 0.

Méthode : ces théorèmes sont précieux lorsqu'on ne peut pas calculer directement la limite (suite trop complexe, présence de sin⁡\sin, cos⁡\cos, ou de termes oscillants).

Exercices de la leçon

Exercice 1

Quelle est la limite de un=(0,8)nu_n = (0{,}8)^n quand n→+∞n \to +\infty ?

Corrigé

Comme −1<0,8<1-1 < 0{,}8 < 1, la suite géométrique (0,8)n(0{,}8)^n tend vers 00.

Exercice 2

La suite un=(−2)nu_n = (-2)^n tend vers +∞+\infty quand n→+∞n \to +\infty.

Corrigé

Comme q=−2⩽−1q = -2 \leqslant -1, la suite (−2)n(-2)^n n'a pas de limite : elle alterne des valeurs positives et négatives de plus en plus grandes en valeur absolue.

Exercice 3

Soit un=3n−5u_n = 3^n - 5. Détermine la limite de unu_n quand n→+∞n \to +\infty et justifie en utilisant les opérations sur les limites.

Corrigé

On reconnaît une suite géométrique de raison q=3>1q=3>1 qui tend vers +∞+\infty, puis on applique la règle de somme avec une constante.

Exercice 4

Soit un=(−1)nn2u_n = \dfrac{(-1)^n}{n^2} pour n⩾1n \geqslant 1. En utilisant un encadrement, démontre que lim⁡n→+∞un=0\lim_{n\to+\infty} u_n = 0.

Corrigé

On encadre la suite à l'aide de l'inégalité −1⩽(−1)n⩽1-1\leqslant(-1)^n\leqslant1, puis on applique le théorème des gendarmes car les deux bornes tendent vers la même limite.

Exercice 5

Soit un=n+cos⁡(n)u_n = n + \cos(n). On admet que −1⩽cos⁡(n)⩽1-1 \leqslant \cos(n) \leqslant 1 pour tout nn. Quelle est la limite de unu_n ?

Corrigé

On a n−1⩽un⩽n+1n - 1 \leqslant u_n \leqslant n+1. Comme lim⁡(n−1)=+∞\lim(n-1) = +\infty, le théorème de comparaison donne lim⁡un=+∞\lim u_n = +\infty.

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