Continuité d'une fonction

Notion de continuité

Définition (intuitive) : une fonction $f$ est continue en un point $a$ si sa courbe représentative ne présente pas de "saut" en $a$ , c'est-à-dire si :

$\lim_{x\to a} f(x) = f(a)$

Définition (continuité sur un intervalle) : une fonction est continue sur un intervalle $I$ si elle est continue en chaque point de $I$ . Graphiquement, on peut tracer sa courbe sans lever le crayon.

Fonctions usuelles continues

Toutes les fonctions de référence étudiées au lycée sont continues sur leur ensemble de définition :

- les fonctions polynômes (sur $\mathbb{R}$ ) ;
- la fonction racine carrée (sur $[0;+\infty[$ ) ;
- les fonctions $\exp$ et $\ln$ (sur leur ensemble de définition) ;
- les fonctions $\sin$ et $\cos$ (sur $\mathbb{R}$ ) ;
- toute somme, produit, quotient (où le dénominateur ne s'annule pas) ou composée de fonctions continues est continue.

Lien avec la dérivabilité : si une fonction est dérivable en un point, alors elle est continue en ce point (mais la réciproque est fausse : par exemple $f(x)=|x|$ est continue en $0$ mais n'y est pas dérivable).

Exemple de discontinuité

La fonction partie entière, ou une fonction définie par morceaux dont les morceaux ne "se raccordent" pas, présente des points de discontinuité où $\lim_{x\to a^-} f(x) \neq \lim_{x\to a^+} f(x)$ .

Exercices de la leçon

Exercice 1

Une fonction polynôme est continue sur :

Corrigé

Les fonctions polynômes sont continues sur $\mathbb{R}$ tout entier, sans aucune restriction.

Exercice 2

Si une fonction est dérivable en un point $a$ , alors elle est nécessairement continue en $a$ .

Corrigé

C'est un théorème important : la dérivabilité en un point implique la continuité en ce point (mais pas l'inverse).

Exercice 3

Explique pourquoi la fonction $f(x) = \dfrac{1}{x}$ n'est pas continue sur $\mathbb{R}$ tout entier, bien qu'elle soit continue sur $\mathbb{R}^*$ .

Corrigé

On distingue le domaine de définition (où la fonction existe) du critère de continuité (qui ne peut s'évaluer qu'aux points où la fonction est définie).

Exercice 4

Soit $f$ définie par $f(x) = x+1$ si $x \leqslant 1$ et $f(x) = 2x$ si $x>1$ . La fonction $f$ est-elle continue en $x=1$ ? Justifie.

Corrigé

On vérifie la continuité en comparant limite à gauche, limite à droite et valeur de la fonction au point ; les trois valeurs coïncident donc il n'y a pas de saut.

Exercice 5

La fonction racine carrée $f(x) = \sqrt{x}$ est continue sur quel ensemble ?

Corrigé

La fonction racine carrée est définie et continue sur $[0;+\infty[$ , son ensemble de définition.

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