Théorème des valeurs intermédiaires (TVI)

Énoncé du théorème

Théorème des valeurs intermédiaires (TVI) : soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $[a;b]$ . Pour tout réel $k$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$ , il existe au moins un réel $c \in [a;b]$ tel que $f(c)=k$ .

Intuitivement : si on trace une courbe continue d'un point à un autre, elle passe forcément par toutes les valeurs intermédiaires.

Corollaire (cas de la stricte monotonie)

Cas particulier très utilisé : si $f$ est continue et strictement monotone (strictement croissante ou strictement décroissante) sur $[a;b]$ , alors pour tout réel $k$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$ , il existe un unique réel $c \in [a;b]$ tel que $f(c)=k$ .

C'est ce corollaire qui permet de démontrer l'existence et l'unicité d'une solution à une équation $f(x)=k$ , et de l'encadrer par dichotomie ou à la calculatrice.

Méthode pour appliquer le TVI

1. Vérifier que $f$ est continue sur l'intervalle considéré (presque toujours vrai pour les fonctions usuelles).
2. Étudier les variations de $f$ (tableau de variations) pour vérifier la stricte monotonie sur l'intervalle choisi.
3. Calculer ou encadrer $f(a)$ et $f(b)$ , et vérifier que $k$ est bien compris entre les deux.
4. Conclure à l'existence et l'unicité de la solution $c$ telle que $f(c)=k$ .

Exemple : soit $f(x) = x^3+x-1$ sur $[0;1]$ . On a $f(0)=-1<0$ et $f(1)=1>0$ . Comme $f$ est continue (polynôme) et strictement croissante (somme de fonctions croissantes) sur $[0;1]$ , le TVI garantit l'existence d'un unique $c\in[0;1]$ tel que $f(c)=0$ .

Exercices de la leçon

Exercice 1

Le théorème des valeurs intermédiaires nécessite que la fonction soit :

Corrigé

Le TVI repose uniquement sur l'hypothèse de continuité de la fonction sur l'intervalle considéré.

Exercice 2

Si une fonction est continue et strictement monotone sur $[a;b]$ , alors l'équation $f(x)=k$ (avec $k$ entre $f(a)$ et $f(b)$ ) admet une unique solution sur $[a;b]$ .

Corrigé

C'est exactement le corollaire du TVI dans le cas de la stricte monotonie : continuité + stricte monotonie garantissent l'unicité de la solution.

Exercice 3

Soit $f(x) = x^3 - 2$ sur $[1;2]$ . Montre que l'équation $f(x)=0$ admet une unique solution sur $[1;2]$ .

Corrigé

On vérifie successivement continuité, stricte monotonie, puis on encadre $0$ entre $f(1)$ et $f(2)$ pour appliquer le corollaire du TVI garantissant l'unicité.

Exercice 4

Soit $f(x) = x^5+x-3$ . On donne le tableau de variations : $f$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$ , $f(1)=-1$ et $f(2)=31$ . Combien l'équation $f(x)=10$ admet-elle de solutions sur $[1;2]$ , et pourquoi ?

Corrigé

On applique le corollaire du TVI : continuité (polynôme) + stricte monotonie donnée + $10$ encadré par les valeurs aux bornes suffisent à conclure à l'unicité de la solution, sans avoir besoin de la calculer explicitement.

Exercice 5

Pour appliquer le corollaire du TVI garantissant l'unicité d'une solution, quelle condition supplémentaire faut-il vérifier par rapport au TVI général ?

Corrigé

Le TVI général garantit l'existence d'au moins une solution ; pour garantir l'unicité, il faut en plus la stricte monotonie de la fonction sur l'intervalle.

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