Ensembles numériques : ℕ, ℤ, ℚ, ℝ, ℂ, valeur absolue, majorants et minorants

Ensembles numériques : ℕ, ℤ, ℚ, ℝ, ℂ, valeur absolue, majorants et minorants

### 1. La hiérarchie des ensembles de nombres

Les ensembles de nombres usuels s'emboîtent : $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R} \subset \mathbb{C}$.

- $\mathbb{N} = \{0, 1, 2, 3, \ldots\}$ : les entiers naturels, stables par addition et multiplication, mais pas par soustraction ($2-5 \notin \mathbb{N}$).
- $\mathbb{Z} = \{\ldots, -2,-1,0,1,2,\ldots\}$ : les entiers relatifs, obtenus en ajoutant les opposés des éléments de $\mathbb{N}$. Stable par addition, soustraction, multiplication, mais pas par division ($1/2 \notin \mathbb{Z}$).
- $\mathbb{Q} = \left\{ \dfrac{p}{q} \;\middle|\; p \in \mathbb{Z},\, q \in \mathbb{Z}^*\right\}$ : les rationnels, quotients d'entiers. Stable par les quatre opérations (division par un non-nul). Mais $\mathbb{Q}$ a des « trous » : $\sqrt{2}$ n'est pas rationnel (preuve par l'absurde classique, voir leçon 3).
- $\mathbb{R}$ : les réels, qui « complètent » $\mathbb{Q}$ en lui ajoutant tous les irrationnels (comme $\sqrt 2$, $\pi$, $e$). C'est un corps totalement ordonné et complet (toute partie non vide majorée admet une borne supérieure — voir section 4).
- $\mathbb{C} = \{a+ib \mid a,b\in\mathbb{R}\}$, avec $i^2=-1$ : les complexes, qui complètent $\mathbb{R}$ pour que toute équation polynomiale non constante ait une solution (théorème de d'Alembert-Gauss). En contrepartie, $\mathbb{C}$ n'est pas totalement ordonné : on ne peut pas comparer deux complexes non réels avec $\leq$ de façon compatible avec les opérations.

Densité de $\mathbb{Q}$ dans $\mathbb{R}$ : entre deux réels distincts quelconques, même très proches, il existe toujours un rationnel (et même une infinité). C'est une conséquence de la propriété d'Archimède.

### 2. Valeur absolue dans $\mathbb{R}$

Pour $x \in \mathbb{R}$, la valeur absolue est définie par :

Elle représente la distance de $x$ à $0$ sur la droite réelle, et plus généralement $|x-y|$ est la distance entre $x$ et $y$.

Propriétés fondamentales : pour tous $x, y \in \mathbb{R}$ :
- $|x| \geq 0$, et $|x|=0 \iff x=0$ ;
- $|{-x}| = |x|$ ;
- $|xy| = |x|\,|y|$ ;
- $|x| \leq M \iff -M \leq x \leq M$ (pour $M \geq 0$) — très utile pour résoudre des inégalités ;
- Inégalité triangulaire : $|x+y| \leq |x|+|y|$, avec égalité si et seulement si $x$ et $y$ sont de même signe ;
- Inégalité triangulaire inverse : $\big||x|-|y|\big| \leq |x-y|$.

Preuve de l'inégalité triangulaire : on a $-|x|\leq x\leq |x|$ et $-|y|\leq y\leq |y|$ ; en additionnant : $-(|x|+|y|) \leq x+y \leq |x|+|y|$, ce qui équivaut exactement à $|x+y|\leq |x|+|y|$ d'après la propriété ci-dessus (avec $M=|x|+|y|$). $\square$

Module dans $\mathbb{C}$ : pour $z=a+ib$, le module $|z| = \sqrt{a^2+b^2}$ généralise la valeur absolue (et coïncide avec elle si $z$ est réel, $b=0$). Il vérifie les mêmes propriétés : $|z_1z_2|=|z_1||z_2|$, $|z_1+z_2|\leq|z_1|+|z_2|$.

### 3. Majorants, minorants

Soit $A \subset \mathbb{R}$ une partie non vide.

- $M \in \mathbb{R}$ est un majorant de $A$ si $\forall a \in A,\; a \leq M$. On dit alors que $A$ est majorée.
- $m \in \mathbb{R}$ est un minorant de $A$ si $\forall a \in A,\; a \geq m$. On dit alors que $A$ est minorée.
- $A$ est bornée si elle est à la fois majorée et minorée.

Un majorant n'est pas nécessairement unique : si $M$ majore $A$, tout réel $M' \geq M$ majore aussi $A$. Le maximum de $A$, noté $\max A$, est un majorant qui appartient à $A$ ; il n'existe pas toujours (ex : $A=[0,1[$ n'a pas de maximum).

### 4. Borne supérieure et borne inférieure

La borne supérieure de $A$, notée $\sup A$, est le plus petit des majorants de $A$ (si elle existe). Formellement, $S = \sup A$ vérifie :
1. $S$ est un majorant de $A$ : $\forall a \in A,\; a \leq S$ ;
2. $S$ est le plus petit : $\forall \varepsilon > 0,\; \exists a \in A,\; a > S - \varepsilon$ (aucun réel strictement inférieur à $S$ ne majore $A$).

De même, la borne inférieure $\inf A$ est le plus grand des minorants, caractérisée par $\forall \varepsilon>0,\;\exists a\in A,\; a < \inf A + \varepsilon$.

Propriété de la borne supérieure (axiome de complétude de $\mathbb{R}$) : toute partie non vide et majorée de $\mathbb{R}$ admet une borne supérieure dans $\mathbb{R}$. C'est cette propriété qui distingue fondamentalement $\mathbb{R}$ de $\mathbb{Q}$ : l'ensemble $A=\{x\in\mathbb{Q} \mid x^2<2\}$ est majoré dans $\mathbb{Q}$ mais n'a pas de borne supérieure rationnelle (sa borne supérieure réelle serait $\sqrt 2 \notin \mathbb{Q}$).

Différence $\sup$ / $\max$ : si $\sup A \in A$, alors $\sup A = \max A$. Sinon, $A$ n'a pas de maximum mais a tout de même une borne supérieure. Exemple : $A = [0,1[$ : $\sup A = 1 \notin A$ (pas de maximum), tandis que $\inf A = \min A = 0 \in A$.

Exemple résolu : Déterminer $\sup A$ pour $A = \left\{ 1 - \dfrac{1}{n} \;\middle|\; n \in \mathbb{N}^*\right\}$.

Pour tout $n\geq 1$, $1-\dfrac1n < 1$, donc $1$ est un majorant. Montrons que c'est le plus petit : soit $\varepsilon>0$. Par la propriété d'Archimède, il existe $n\in\mathbb{N}^*$ tel que $n > \dfrac{1}{\varepsilon}$, donc $\dfrac1n<\varepsilon$, donc $1-\dfrac1n > 1-\varepsilon$. On a donc trouvé un élément de $A$ strictement supérieur à $1-\varepsilon$ : aucun réel $<1$ ne majore $A$. Conclusion : $\sup A = 1$, et comme $1\notin A$, $A$ n'a pas de maximum.

### 5. Résumé des distinctions clés

| Notion | Définition courte |
|---|---|
| Majorant | $M$ tel que tous les éléments de $A$ sont $\leq M$ |
| $\max A$ | majorant qui appartient à $A$ (n'existe pas toujours) |
| $\sup A$ | plus petit des majorants (existe toujours si $A$ est non vide et majorée, par complétude de $\mathbb{R}$) |
| $\mathbb{Q}$ | dense dans $\mathbb{R}$ mais non complet (pas de propriété de la borne sup) |
| $\mathbb{C}$ | complet algébriquement (d'Alembert-Gauss) mais non ordonné |