Épreuve et schéma de Bernoulli

Épreuve de Bernoulli

Une épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire à deux issues possibles : un « succès » (probabilité $p$ ) et un « échec » (probabilité $1-p$ ).

Exemple

Lancer une pièce et regarder si on obtient « Pile » (succès, probabilité $p=0{,}5$ ) ou « Face » (échec).

Loi de Bernoulli

Si $X$ est la variable aléatoire qui vaut $1$ en cas de succès et $0$ en cas d'échec, $X$ suit la loi de Bernoulli de paramètre $p$ , notée $\mathcal{B}(p)$ :

x_i

0

1

|---|---|---|

P(X=x_i)

1-p

p

On a alors

E(X) = 0\times(1-p)+1\times p = p

Schéma de Bernoulli

Un schéma de Bernoulli consiste à répéter $n$ fois, de façon identique et indépendante, la même épreuve de Bernoulli de paramètre $p$ .

« Identique » signifie que la probabilité de succès $p$ reste la même à chaque répétition. « Indépendante » signifie que le résultat d'une répétition n'influence pas les autres (c'est le cas par exemple pour des tirages avec remise, ou pour des lancers de dé/pièce successifs).

Exemple

On lance $5$ fois un dé équilibré et on regarde, à chaque lancer, si on obtient un $6$ (succès, $p=\dfrac{1}{6}$ ) ou non (échec). C'est un schéma de Bernoulli avec $n=5$ répétitions.

Attention : un tirage sans remise dans une population de petite taille ne constitue en général pas une répétition indépendante (la probabilité change après chaque tirage), donc ce n'est pas un schéma de Bernoulli au sens strict.

Vers la loi binomiale

Dans un schéma de Bernoulli à $n$ répétitions, on s'intéresse souvent à la variable aléatoire $X$ = « nombre de succès obtenus ». C'est l'objet de la leçon suivante : $X$ suit alors une loi binomiale.

Exercices de la leçon

Exercice 1

Une épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire qui a :

Corrigé

Par définition, une épreuve de Bernoulli a deux issues : succès ou échec.

Exercice 2

Dans un schéma de Bernoulli, les répétitions de l'épreuve doivent être indépendantes les unes des autres.

Corrigé

C'est une des deux conditions du schéma de Bernoulli (avec l'identité de la probabilité de succès à chaque répétition).

Exercice 3

Si $X$ suit la loi de Bernoulli de paramètre $p=0{,}3$ , quelle est la valeur de $E(X)$ ?

Corrigé

Pour une loi de Bernoulli de paramètre $p$ , on a toujours $E(X)=p$ .

Exercice 4

On tire au hasard, avec remise, une boule dans une urne contenant $3$ boules rouges et $7$ boules vertes, et on répète ce tirage $4$ fois. Justifie qu'il s'agit d'un schéma de Bernoulli et précise les paramètres $n$ et $p$ (succès = "tirer une boule rouge").

Corrigé

Le tirage avec remise garantit l'identité (même probabilité à chaque fois) et l'indépendance des répétitions, ce qui caractérise un schéma de Bernoulli.

Exercice 5

On dispose d'une urne contenant $5$ boules indiscernables au toucher : $2$ rouges et $3$ bleues. On tire successivement $3$ boules sans remise. Explique pourquoi cette expérience n'est pas un schéma de Bernoulli, puis indique comment modifier l'expérience pour qu'elle le devienne (en gardant les mêmes proportions initiales).

Corrigé

Le tirage sans remise change la composition de l'urne donc la probabilité de succès à chaque étape, ce qui viole les deux hypothèses (identité et indépendance) requises pour un schéma de Bernoulli ; remettre la boule tirée résout le problème.

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