La loi binomiale

Coefficient binomial

Pour un schéma de Bernoulli à $n$ répétitions, le coefficient binomial $\dbinom{n}{k}$ (lu « $k$ parmi $n$ ») compte le nombre de façons d'obtenir $k$ succès parmi les $n$ répétitions (c'est-à-dire le nombre de chemins de l'arbre menant à exactement $k$ succès).

Propriétés utiles

\dbinom{n}{0} = 1 \qquad \dbinom{n}{n} = 1 \qquad \dbinom{n}{1} = n \qquad \dbinom{n}{k} = \dbinom{n}{n-k}

On peut les calculer avec le triangle de Pascal ou la calculatrice.

Loi binomiale

Soit $X$ le nombre de succès obtenus dans un schéma de Bernoulli de paramètres $n$ (nombre de répétitions) et $p$ (probabilité de succès). On dit que $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n$ et $p$ , notée $\mathcal{B}(n,p)$ , et pour tout entier $k$ avec $0\leqslant k\leqslant n$ :

$P(X=k) = \dbinom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}$

Exemple

On lance $4$ fois une pièce équilibrée ( $p=0{,}5$ ). $X$ = nombre de Piles obtenus suit $\mathcal{B}(4\,;\,0{,}5)$ .

P(X=2) = \dbinom{4}{2}\times0{,}5^2\times0{,}5^2 = 6\times0{,}25\times0{,}25 = 6\times0{,}0625=0{,}375

(car $\dbinom{4}{2}=6$ , qui se lit dans le triangle de Pascal ou se calcule).

Espérance de la loi binomiale

Si $X$ suit $\mathcal{B}(n,p)$ , alors :

$E(X) = np$

Exemple (suite)

$E(X) = 4\times0{,}5=2$ : en moyenne, on obtient $2$ Piles sur $4$ lancers, ce qui est cohérent avec l'intuition.

Méthode pour reconnaître une loi binomiale

On vérifie que la situation est bien un schéma de Bernoulli répété $n$ fois (épreuves identiques et indépendantes, deux issues), puis on identifie $n$ et $p$ , et on applique la formule.

Exercices de la leçon

Exercice 1

La formule de la loi binomiale $P(X=k)$ pour $X \sim \mathcal{B}(n,p)$ est :

Corrigé

C'est la formule du cours : le coefficient binomial multiplié par $p$ à la puissance du nombre de succès et $(1-p)$ à la puissance du nombre d'échecs.

Exercice 2

Si $X \sim \mathcal{B}(n,p)$ , alors $E(X) = np$ .

Corrigé

C'est la formule de l'espérance d'une loi binomiale, qui est une propriété du cours.

Exercice 3

On répète $5$ fois une épreuve de Bernoulli de paramètre $p=0{,}4$ . Quelle est la loi suivie par $X$ = nombre de succès ?

Corrigé

Le nombre de succès dans un schéma de Bernoulli répété $n$ fois avec probabilité $p$ suit la loi binomiale $\mathcal{B}(n,p)$ , ici $\mathcal{B}(5\,;\,0{,}4)$ .

Exercice 4

Une question de QCM comporte $4$ propositions dont une seule est correcte. Un élève répond au hasard à $3$ questions indépendantes de ce type. Soit $X$ le nombre de bonnes réponses. Justifie que $X$ suit une loi binomiale en précisant ses paramètres, puis calcule $P(X=2)$ (on donne $\dbinom{3}{2}=3$ ).

Corrigé

On identifie les paramètres $n$ et $p$ du schéma de Bernoulli, puis on applique directement la formule de la loi binomiale pour $k=2$ .

Exercice 5

Une machine produit des pièces, et chaque pièce a une probabilité $0{,}1$ d'être défectueuse, indépendamment des autres. On prélève un échantillon de $6$ pièces. Soit $X$ le nombre de pièces défectueuses dans l'échantillon. Donne la loi de $X$ , calcule $P(X=0)$ (probabilité qu'aucune pièce ne soit défectueuse), puis calcule $E(X)$ et interprète ce résultat.

Corrigé

On reconnaît le schéma de Bernoulli répété, on utilise $\binom{6}{0}=1$ pour simplifier le calcul de $P(X=0)$ à une simple puissance, puis on applique la formule de l'espérance $E(X)=np$ .

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