Variable aléatoire et espérance

Variable aléatoire

Une variable aléatoire $X$ est une fonction qui associe un nombre réel à chaque issue d'une expérience aléatoire.

Exemple

On lance un dé à 6 faces. Si on gagne $10$ € en cas de $6$ , on perd $2$ € sinon, on peut définir $X$ = gain réalisé. $X$ prend les valeurs $10$ et $-2$ .

Loi de probabilité de $X$

La loi de probabilité de $X$ associe à chaque valeur possible $x_i$ de $X$ la probabilité $P(X=x_i)$ . On la présente souvent dans un tableau, et la somme des probabilités doit valoir $1$ .

Exemple (suite)

x_i

-2

10

|---|---|---|

P(X=x_i)

\dfrac{5}{6}

\dfrac{1}{6}

Espérance mathématique

L'espérance de $X$ , notée $E(X)$ , est la moyenne des valeurs possibles de $X$ pondérées par leurs probabilités :

$E(X) = \sum_{i} x_i \, p_i = x_1p_1+x_2p_2+\cdots+x_np_n$

C'est le gain moyen que l'on peut espérer si on répète l'expérience un grand nombre de fois.

Exemple (suite)

E(X) = (-2)\times\dfrac{5}{6}+10\times\dfrac{1}{6} = -\dfrac{10}{6}+\dfrac{10}{6} = 0

Le jeu est donc équitable ( $E(X)=0$ ) : sur le long terme, on ne gagne ni ne perd d'argent en moyenne.

Variance et écart-type (pour information)

On définit aussi $V(X) = \sum_i p_i(x_i-E(X))^2$ et $\sigma(X)=\sqrt{V(X)}$ , qui mesurent la dispersion des valeurs de $X$ autour de son espérance (hors programme de calcul détaillé en 1ère, mais bon à connaître).

Exercices de la leçon

Exercice 1

L'espérance $E(X)$ d'une variable aléatoire représente :

Corrigé

L'espérance est une moyenne pondérée : $E(X) = \sum x_ip_i$ .

Exercice 2

Dans une loi de probabilité, la somme de toutes les probabilités $P(X=x_i)$ doit toujours être égale à $1$ .

Corrigé

C'est une propriété fondamentale de toute loi de probabilité, car les événements $\{X=x_i\}$ forment une partition de l'univers.

Exercice 3

Une variable aléatoire $X$ suit la loi donnée par $P(X=1)=0{,}3$ , $P(X=2)=0{,}5$ et $P(X=3)=p$ . Quelle est la valeur de $p$ ?

Corrigé

La somme des probabilités vaut $1$ , donc $p = 1-0{,}3-0{,}5 = 0{,}2$ .

Exercice 4

Un jeu consiste à tirer une carte dans un jeu de 32 cartes : on gagne $16$ € si c'est un As (il y en a 4), et on perd $2$ € sinon. Détermine la loi de probabilité du gain $X$ , puis calcule $E(X)$ et indique si le jeu est favorable au joueur.

Corrigé

On établit la loi de probabilité à partir du comptage des cartes, puis on calcule l'espérance pour juger du caractère favorable ou non du jeu.

Exercice 5

Un organisateur de loterie vend des billets à $5$ €. Sur $1000$ billets, il y a $1$ billet gagnant de $2000$ €, $10$ billets gagnants de $50$ € et les autres ne rapportent rien. Soit $X$ le gain net du joueur (gain obtenu moins le prix du billet). Détermine la loi de probabilité de $X$ et calcule $E(X)$ . La loterie est-elle favorable à l'organisateur ?

Corrigé

On définit le gain net (gain brut moins prix du billet) pour chaque catégorie, on établit la loi de probabilité complète, puis on calcule l'espérance qui révèle l'avantage structurel de l'organisateur.

AlphaMath Académie · Variable aléatoire et espérance · Variables aléatoires et loi binomiale

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