La loi normale centrée réduite

Une nouvelle loi à densité : la loi normale centrée réduite

Tu as déjà rencontré des lois à densité (loi uniforme, loi exponentielle) pour modéliser des variables aléatoires continues. La loi normale est la plus célèbre de toutes : sa courbe en forme de "cloche" apparaît dès que l'on observe un grand nombre de répétitions d'un phénomène aléatoire (tailles, poids, erreurs de mesure, résultats de sondages...).

> Définition. La variable aléatoire $Z$ suit la loi normale centrée réduite, notée $\mathcal{N}(0,1)$ , si elle admet pour densité de probabilité la fonction :
>

f(t) = \dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-t^2/2}, \quad t \in \mathbb{R}

On ne démontre pas dans ce cours les propriétés de cette fonction (elle est dérivable, positive, et $\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f(t)\,dt = 1$ ), mais il faut retenir l'allure de sa courbe représentative.

### Allure de la courbe

La courbe de $f$ est une cloche symétrique par rapport à l'axe des ordonnées (symétrique par rapport à $t=0$ ), centrée en $0$ , qui s'aplatit rapidement de part et d'autre. L'aire totale sous la courbe vaut $1$ , comme pour toute densité de probabilité.

Cette symétrie traduit le fait que $Z$ et $-Z$ ont la même loi : les valeurs négatives et positives jouent des rôles symétriques.

### Calcul de probabilités à la calculatrice

Contrairement à la loi uniforme, on ne sait pas calculer une primitive simple de $f$ . On utilise donc la calculatrice ou un logiciel pour obtenir directement :

- $P(Z \leqslant z)$ : aire sous la courbe à gauche de $z$ (fonction de répartition, souvent notée touche "normalcdf" ou "NormCD")
- $P(a \leqslant Z \leqslant b)$ : aire sous la courbe entre $a$ et $b$ , égale à $P(Z\leqslant b) - P(Z\leqslant a)$

### Propriétés de symétrie

La symétrie de la cloche par rapport à $0$ donne deux propriétés très utiles, valables pour tout réel $z$ :

P(Z \leqslant -z) = 1 - P(Z \leqslant z)

P(Z \geqslant z) = 1 - P(Z \leqslant z)

Idée : l'aire totale sous la courbe vaut $1$ . L'aire à gauche de $-z$ est, par symétrie, égale à l'aire à droite de $z$ , donc égale à $1$ moins l'aire à gauche de $z$ .

On a aussi, pour tout $z \geqslant 0$ :

P(-z \leqslant Z \leqslant z) = 1 - 2P(Z \geqslant z) = 2P(Z\leqslant z) - 1

### Exemple chiffré complet

Soit $Z \sim \mathcal{N}(0,1)$ . On donne, à la calculatrice : $P(Z \leqslant 1{,}5) \approx 0{,}9332$ .

1) Calculer $P(Z \geqslant 1{,}5)$ .

P(Z \geqslant 1{,}5) = 1 - P(Z \leqslant 1{,}5) \approx 1 - 0{,}9332 = 0{,}0668

2) Calculer $P(Z \leqslant -1{,}5)$ .

P(Z \leqslant -1{,}5) = 1 - P(Z \leqslant 1{,}5) \approx 0{,}0668

3) Calculer $P(-1{,}5 \leqslant Z \leqslant 1{,}5)$ .

P(-1{,}5 \leqslant Z \leqslant 1{,}5) = P(Z\leqslant 1{,}5) - P(Z \leqslant -1{,}5) \approx 0{,}9332 - 0{,}0668 = 0{,}8664

On retrouve bien que la quasi-totalité de la probabilité est concentrée entre $-1{,}5$ et $1{,}5$ , ce qui est cohérent avec l'allure en cloche de la densité.

Exercices de la leçon

Exercice 1

La courbe représentative de la densité de la loi normale centrée réduite $\mathcal{N}(0,1)$ est :

Corrigé

La densité $f(t)=\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-t^2/2}$ est une fonction paire (elle ne dépend que de $t^2$ ), donc sa courbe est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées, c'est-à-dire par rapport à $t=0$ .

Exercice 2

Si $Z \sim \mathcal{N}(0,1)$ , alors $P(Z \leqslant 0) = 0{,}5$ .

Corrigé

Par symétrie de la cloche autour de $0$ , l'aire à gauche de $0$ et l'aire à droite de $0$ sont égales, et leur somme vaut $1$ . Donc $P(Z\leqslant 0) = 0{,}5$ .

Exercice 3

On sait que $P(Z \leqslant 2) \approx 0{,}9772$ pour $Z \sim \mathcal{N}(0,1)$ . Que vaut $P(Z \geqslant 2)$ ?

Corrigé

$P(Z \geqslant 2) = 1 - P(Z \leqslant 2) \approx 1 - 0{,}9772 = 0{,}0228$ .

Exercice 4

Pour $Z \sim \mathcal{N}(0,1)$ et $z>0$ , on a toujours $P(Z\leqslant -z) = P(Z \geqslant z)$ .

Corrigé

Les deux quantités valent $1 - P(Z\leqslant z)$ d'après les propriétés de symétrie, elles sont donc égales. Cela traduit la symétrie de la cloche : l'aire à gauche de $-z$ est égale à l'aire à droite de $z$ .

Exercice 5

Soit $Z \sim \mathcal{N}(0,1)$ . On donne $P(Z \leqslant 0{,}8) \approx 0{,}7881$ . Calculer $P(-0{,}8 \leqslant Z \leqslant 0{,}8)$ , puis en déduire $P(|Z| \geqslant 0{,}8)$ .

Corrigé

On combine la formule de symétrie $P(-z\leqslant Z\leqslant z) = 2P(Z\leqslant z)-1$ avec le passage à l'événement contraire pour obtenir $P(|Z|\geqslant z) = 1 - P(-z\leqslant Z\leqslant z)$ .

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