La loi normale générale $\mathcal{N}(\mu,\sigma^2)$

De la loi centrée réduite à la loi normale générale

La loi $\mathcal{N}(0,1)$ est un cas particulier. En pratique, les grandeurs que l'on modélise (tailles, poids, durées, notes...) ne sont pas centrées en $0$ ni d'écart-type $1$ . On généralise donc la loi normale.

> Définition. Soit $\mu \in \mathbb{R}$ et $\sigma > 0$ . Une variable aléatoire $X$ suit la loi normale de paramètres $\mu$ et $\sigma^2$ , notée $\mathcal{N}(\mu,\sigma^2)$ , si la variable centrée réduite
>

Z = \dfrac{X-\mu}{\sigma}

> suit la loi

\mathcal{N}(0,1)

Le paramètre $\mu$ est l'espérance de $X$ : $E(X) = \mu$ . Le paramètre $\sigma$ est l'écart-type de $X$ : $\sigma(X) = \sigma$ . La courbe de $X$ est encore une cloche symétrique, mais centrée en $\mu$ (au lieu de $0$ ) et plus ou moins étalée selon la valeur de $\sigma$ (plus $\sigma$ est grand, plus la cloche est aplatie et large).

### Calculer des probabilités avec $X \sim \mathcal{N}(\mu,\sigma^2)$

On peut directement utiliser la calculatrice (avec $\mu$ et $\sigma$ en paramètres) pour obtenir $P(X \leqslant x)$ ou $P(a \leqslant X \leqslant b)$ . On peut aussi se ramener à $\mathcal{N}(0,1)$ grâce au changement de variable $Z = \dfrac{X-\mu}{\sigma}$ :

P(X \leqslant x) = P\left(Z \leqslant \dfrac{x-\mu}{\sigma}\right)

### La règle des " $68$ - $95$ - $99{,}7$ "

Cette règle, très utile pour estimer rapidement des probabilités sans calculatrice, découle directement des propriétés de la loi normale :

> Si $X \sim \mathcal{N}(\mu,\sigma^2)$ , alors :
>

P(\mu-\sigma \leqslant X \leqslant \mu+\sigma) \approx 0{,}68

P(\mu-2\sigma \leqslant X \leqslant \mu+2\sigma) \approx 0{,}95

P(\mu-3\sigma \leqslant X \leqslant \mu+3\sigma) \approx 0{,}997

Autrement dit : environ $68\%$ des valeurs sont à moins d'un écart-type de la moyenne, environ $95\%$ à moins de deux écarts-types, et la quasi-totalité ( $99{,}7\%$ ) à moins de trois écarts-types.

### Exemple chiffré complet

La taille $X$ (en cm) des adultes d'une population suit la loi normale $\mathcal{N}(170, 8^2)$ , c'est-à-dire $\mu = 170$ et $\sigma = 8$ .

1) Quelle est la probabilité qu'un adulte mesure entre $162$ cm et $178$ cm ?

On remarque que $162 = 170 - 8 = \mu - \sigma$ et $178 = 170+8 = \mu+\sigma$ . D'après la règle des $68$ - $95$ - $99{,}7$ :

P(162 \leqslant X \leqslant 178) \approx 0{,}68

2) Quelle est la probabilité qu'un adulte mesure entre $154$ cm et $186$ cm ?

On a $154 = \mu - 2\sigma$ et $186 = \mu + 2\sigma$ , donc :

P(154 \leqslant X \leqslant 186) \approx 0{,}95

3) Quelle est la probabilité qu'un adulte mesure plus de $186$ cm ?

Par symétrie de la cloche autour de $\mu = 170$ :

P(X \geqslant 186) = \dfrac{1 - P(154\leqslant X \leqslant 186)}{2} \approx \dfrac{1-0{,}95}{2} = 0{,}025

Une probabilité d'environ $2{,}5\%$ qu'un adulte choisi au hasard mesure plus de $1$ m $86$ .

Exercices de la leçon

Exercice 1

Si $X \sim \mathcal{N}(\mu,\sigma^2)$ , alors la variable $Z = \dfrac{X-\mu}{\sigma}$ suit :

Corrigé

C'est la définition même de la loi normale générale : $Z=\dfrac{X-\mu}{\sigma}$ est, par construction, centrée réduite.

Exercice 2

Pour $X \sim \mathcal{N}(\mu,\sigma^2)$ , l'espérance de $X$ est $E(X) = \sigma$ .

Corrigé

C'est $\mu$ qui est l'espérance de $X$ : $E(X) = \mu$ . Le paramètre $\sigma$ est l'écart-type de $X$ .

Exercice 3

Le poids $X$ (en kg) d'une population suit $\mathcal{N}(70, 5^2)$ . Quel intervalle contient environ $95\%$ des poids ?

Corrigé

On utilise $[\mu-2\sigma\,;\,\mu+2\sigma] = [70-10\,;\,70+10] = [60\,;\,80]$ , qui contient environ $95\%$ des valeurs.

Exercice 4

Pour $X\sim\mathcal{N}(\mu,\sigma^2)$ , plus $\sigma$ est grand, plus la courbe en cloche est resserrée autour de $\mu$ .

Corrigé

C'est l'inverse : plus $\sigma$ est grand, plus la dispersion autour de $\mu$ est importante, donc plus la cloche est aplatie et étalée.

Exercice 5

La durée de vie $X$ (en heures) d'un composant électronique suit la loi $\mathcal{N}(1000, 50^2)$ . Calculer $P(950 \leqslant X \leqslant 1100)$ en utilisant la règle des $68$ - $95$ - $99{,}7$ , puis donner $P(X \leqslant 850)$ .

Corrigé

Quand les bornes ne sont pas symétriques par rapport à $\mu$ , on découpe l'intervalle en deux morceaux centrés en $\mu$ et on utilise la symétrie de la cloche pour diviser par 2 les probabilités de la règle des $68$ - $95$ - $99{,}7$ .

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