Théorème de Moivre-Laplace et intervalle de fluctuation

D'où vient le $1{,}96$ de l'intervalle de fluctuation ?

Tu as utilisé dans un précédent cours l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de $95\%$ :

sans savoir pourquoi le nombre $1{,}96$ apparaît précisément. La loi normale permet enfin de répondre à cette question.

### Le théorème de Moivre-Laplace

> Théorème (admis). Soit $p \in (0,1)$ fixé et, pour tout entier $n$, $X_n$ une variable aléatoire suivant la loi binomiale $\mathcal{B}(n,p)$. Alors la variable centrée réduite associée
>

> converge en loi vers la loi normale centrée réduite $\mathcal{N}(0,1)$ lorsque $n \to +\infty$.

Concrètement, cela signifie que pour $n$ assez grand, on peut approcher les probabilités concernant $Z_n$ par celles d'une variable $Z \sim \mathcal{N}(0,1)$ :

C'est ce théorème qui explique pourquoi la loi binomiale, lorsque $n$ est grand, a une représentation en bâtons qui ressemble à une cloche : c'est la cloche de la loi normale !

### Retrouver la formule de l'intervalle de fluctuation

On part de $X_n \sim \mathcal{B}(n,p)$ et on pose $F_n = \dfrac{X_n}{n}$ la fréquence observée. On veut déterminer un intervalle qui contient $F_n$ avec une probabilité d'environ $0{,}95$.

Étape 1 : trouver $z$ tel que $P(-z \leqslant Z \leqslant z) \approx 0{,}95$.

À la calculatrice, on cherche $z$ tel que $2P(Z\leqslant z) - 1 = 0{,}95$, c'est-à-dire $P(Z \leqslant z) = 0{,}975$. On trouve :

C'est ici, et seulement ici, qu'apparaît le nombre $1{,}96$ : c'est la valeur telle que $P(-1{,}96 \leqslant Z \leqslant 1{,}96) \approx 0{,}95$ pour $Z\sim\mathcal{N}(0,1)$.

Étape 2 : appliquer le théorème de Moivre-Laplace.

D'après le théorème, pour $n$ assez grand, $Z_n = \dfrac{X_n-np}{\sqrt{np(1-p)}}$ vérifie approximativement :

Étape 3 : revenir à la fréquence $F_n$.

L'événement $-1{,}96 \leqslant \dfrac{X_n-np}{\sqrt{np(1-p)}} \leqslant 1{,}96$ équivaut, en multipliant par $\sqrt{np(1-p)}$ puis en ajoutant $np$, à :

En divisant chaque membre par $n$ (et en utilisant $F_n = X_n/n$ et $\sqrt{np(1-p)}/n = \sqrt{p(1-p)/n}$) :

On retrouve exactement la formule de $I_n$ : le $1{,}96$ vient bien de la loi normale, c'est la valeur $z$ telle que $P(-z\leqslant Z \leqslant z)\approx 0{,}95$.

### Lien avec la loi des grands nombres

Pour conclure, un résultat complémentaire (admis, et qu'on ne démontre pas ici) : la loi des grands nombres affirme que lorsque $n$ devient très grand, la fréquence observée $F_n$ se rapproche de plus en plus de $p$ (en probabilité). On voit d'ailleurs que la longueur de $I_n$, égale à $2\times 1{,}96\sqrt{p(1-p)/n}$, tend vers $0$ quand $n \to +\infty$ : l'intervalle se resserre autour de $p$, ce qui est cohérent avec ce principe.

### Exemple chiffré

Une urne contient une proportion $p=0{,}3$ de boules rouges. On tire $n=200$ boules avec remise et on note $F_n$ la fréquence de boules rouges obtenues.

On vérifie les conditions : $n=200\geqslant 30$, $np = 60 \geqslant 5$, $n(1-p)=140\geqslant 5$. On peut donc utiliser l'intervalle de fluctuation :

On calcule $\sqrt{\dfrac{0{,}21}{200}} \approx 0{,}0324$, donc $1{,}96\times 0{,}0324 \approx 0{,}0635$, et :

Si la fréquence observée sur l'échantillon est, par exemple, $f=0{,}40$, alors $f \notin I_{200}$ : ce résultat est suffisamment éloigné de $p=0{,}3$ pour remettre en question, au seuil de $5\%$, l'hypothèse que la proportion de boules rouges dans l'urne est bien $0{,}3$.