Fonctions mesurables et construction de l'intégrale de Lebesgue

Quelle est la condition pour qu'une fonction $f$ soit mesurable ?

C'est la définition standard : $f$ est mesurable si l'image réciproque de tout intervalle $]a,+\infty[$ est un ensemble mesurable, pour tout $a$ réel.

Vrai ou faux : toute fonction continue est mesurable (pour la tribu borélienne).

Vrai. Si $f$ est continue, $\{f>a\}=f^{-1}(]a,+\infty[)$ est l'image réciproque d'un ouvert par une application continue, donc un ouvert, donc un borélien.

Qu'est-ce qu'une fonction étagée ?

Une fonction étagée s'écrit $\varphi=\sum_ic_i\mathbb{1}_{A_i}$ avec les $A_i$ mesurables disjoints — c'est l'analogue, pour Lebesgue, des fonctions en escalier utilisées dans la construction de Riemann.

Vrai ou faux : si $f$ est Riemann-intégrable sur $[a,b]$, alors $f$ est aussi Lebesgue-intégrable, avec la même valeur d'intégrale.

Vrai. C'est le théorème de compatibilité : l'intégrale de Lebesgue étend strictement celle de Riemann, sans jamais la contredire sur les fonctions où les deux sont définies.

Quelle est l'intégrale de Lebesgue de la fonction de Dirichlet $\mathbb{1}_{\mathbb{Q}\cap[0,1]}$ sur $[0,1]$ ?

Comme $\mathbb{Q}\cap[0,1]$ est de mesure de Lebesgue nulle, $\int_0^1\mathbb{1}_{\mathbb{Q}\cap[0,1]}\,d\lambda=1\times0=0$.

Pour la fonction étagée $\varphi=3\cdot\mathbb{1}_{[0,1]}+5\cdot\mathbb{1}_{]1,2]}$, calculer $\int\varphi\,d\lambda$.

$\int\varphi\,d\lambda=3\times\lambda([0,1])+5\times\lambda(]1,2])=3\times1+5\times1=8$.

Pour $f(x)=x$ sur $\Omega=[-2,3]$, calculer $\int f^+\,d\lambda$ (la partie positive intégrée).

$f^+(x)=\max(x,0)$ vaut $x$ sur $[0,3]$ et $0$ ailleurs. $\int f^+\,d\lambda=\int_0^3x\,dx=\dfrac{9}{2}$.

Vrai ou faux : la somme de deux fonctions mesurables est toujours mesurable.

Vrai. C'est l'une des propriétés de stabilité de base des fonctions mesurables, qui en fait un cadre très robuste (contrairement, par exemple, à la dérivabilité, qui n'est pas toujours préservée par certaines opérations).

Vrai ou faux : la limite simple d'une suite de fonctions continues est toujours continue.

Faux — c'est une des limites de la continuité que la théorie de la mesure dépasse. Contre-exemple classique : $f_n(x)=x^n$ sur $[0,1]$, continue pour tout $n$, converge simplement vers la fonction discontinue $f(x)=0$ pour $x<1$, $f(1)=1$. En revanche, la mesurabilité est, elle, toujours préservée par limite simple.

Soit $f(x)=-2$ sur $[0,1]$ et $f(x)=3$ sur $]1,2]$. Calculer $\int f\,d\lambda$ en utilisant $f=f^+-f^-$.

Décomposition en parties positive et négative. $f^+=\max(f,0)$ vaut $3$ sur $]1,2]$ (où $f=3>0$) et $0$ sur $[0,1]$ (où $f=-2<0$). $f^-=\max(-f,0)$ vaut $2$ sur $[0,1]$ (où $-f=2>0$) et $0$ sur $]1,2]$.

Calcul séparé. $\int f^+\,d\lambda = 3\times\lambda(]1,2]) = 3\times1=3$. $\int f^-\,d\lambda = 2\times\lambda([0,1]) = 2\times1=2$.

Conclusion. $\int f\,d\lambda = \int f^+\,d\lambda - \int f^-\,d\lambda = 3-2=1$.

Vérification directe (puisque $f$ est elle-même étagée) : $\int f\,d\lambda=(-2)\times1+3\times1=1$. Les deux méthodes coïncident. $\square$

Démontrer que l'ensemble $\{f=a\}$ est mesurable pour toute fonction mesurable $f$ et tout $a\in\mathbb{R}$, à partir de la définition $\{f>c\}$ mesurable pour tout $c$.

Étape 1 — $\{f\geq a\}$ est mesurable. On écrit $\{f\geq a\}=\bigcap_{n\geq1}\{f>a-1/n\}$ (un point $x$ vérifie $f(x)\geq a$ si et seulement si $f(x)>a-1/n$ pour tout $n$, par passage à la limite). Chaque $\{f>a-1/n\}$ est mesurable par hypothèse, et une intersection dénombrable d'ensembles mesurables est mesurable (stabilité de la tribu, via De Morgan à partir de la stabilité par réunion dénombrable et complémentaire).

Étape 2 — $\{f\leq a\}$ est mesurable. $\{f\leq a\}=\{f>a\}^c$, complémentaire d'un mesurable, donc mesurable.

Étape 3 — conclusion. $\{f=a\}=\{f\geq a\}\cap\{f\leq a\}$, intersection de deux ensembles mesurables, donc mesurable (stabilité par intersection finie, cas particulier de la stabilité dénombrable). $\square$

Soit $f_n=n\cdot\mathbb{1}_{[0,1/n]}$. Calculer $\int f_n\,d\lambda$ pour tout $n$, puis $\lim_n\int f_n\,d\lambda$, et comparer avec $\int\big(\lim_nf_n\big)\,d\lambda$.

Calcul de $\int f_n\,d\lambda$. $f_n$ est une fonction étagée valant $n$ sur $[0,1/n]$ et $0$ ailleurs, donc $\int f_n\,d\lambda = n\times\lambda([0,1/n]) = n\times\dfrac1n = 1$, pour tout $n$. Donc $\lim_n\int f_n\,d\lambda=1$.

Limite simple (pointwise) de $f_n$. Pour $x>0$ fixé, dès que $n>1/x$, on a $x\notin[0,1/n]$, donc $f_n(x)=0$ : ainsi $f_n(x)\to0$ pour tout $x>0$. En $x=0$, $f_n(0)=n\to+\infty$ (mais $\{0\}$ est négligeable). Donc $f_n\to0$ presque partout.

Comparaison. $\displaystyle\int\Big(\lim_nf_n\Big)d\lambda = \int0\,d\lambda=0$, alors que $\displaystyle\lim_n\int f_n\,d\lambda=1\neq0$.

Conclusion. Cet exemple montre qu'en général, on ne peut pas échanger limite et intégrale sans hypothèse supplémentaire : ici, la « masse » de $f_n$ ne disparaît pas à la limite mais se concentre de plus en plus près de $x=0$ (un phénomène de concentration), empêchant le théorème de convergence dominée de s'appliquer (il n'existe pas de fonction intégrable $g$ avec $f_n\leq g$ pour tout $n$, car $f_n(0)=n\to\infty$). C'est exactement la mise en garde qui motive les hypothèses précises des théorèmes de convergence étudiés à la leçon suivante.

Vrai ou faux : si $f=g$ presque partout et que $f$ est intégrable, alors $g$ est intégrable avec $\int f\,d\mu=\int g\,d\mu$.

Vrai. C'est une propriété fondamentale de l'intégrale de Lebesgue : elle ne « voit » pas les ensembles négligeables. Deux fonctions égales presque partout ont des intégrales identiques — c'est précisément ce qui permet à Lebesgue de traiter sans difficulté la fonction de Dirichlet (égale presque partout à la fonction nulle).

Démontrer la linéarité de l'intégrale sur les fonctions étagées positives : pour $\varphi,\psi$ étagées $\geq0$ et $\alpha,\beta\geq0$, $\int(\alpha\varphi+\beta\psi)\,d\mu=\alpha\int\varphi\,d\mu+\beta\int\psi\,d\mu$.

Raffinement commun des partitions. Écrivons $\varphi=\sum_ic_i\mathbb{1}_{A_i}$ et $\psi=\sum_jd_j\mathbb{1}_{B_j}$, où $(A_i)_i$ et $(B_j)_j$ forment chacune une partition mesurable de l'espace (en complétant éventuellement par un ensemble où la fonction vaut $0$). On considère le raffinement commun $C_{ij}=A_i\cap B_j$, qui forme également une partition, et sur lequel $\varphi$ vaut $c_i$ et $\psi$ vaut $d_j$ (constantes), donc $\alpha\varphi+\beta\psi$ vaut la constante $\alpha c_i+\beta d_j$ sur chaque $C_{ij}$.

Calcul de l'intégrale sur la partition raffinée. Par définition de l'intégrale d'une fonction étagée :

Regroupement par $i$ (puis par $j$). Comme $(C_{ij})_j$ partitionne $A_i$ pour chaque $i$ fixé, $\sum_jμ(C_{ij})=\mu(A_i)$ par additivité finie, donc $\sum_{i,j}c_i\mu(C_{ij})=\sum_ic_i\mu(A_i)=\int\varphi\,d\mu$. De même, $\sum_{i,j}d_j\mu(C_{ij})=\sum_jd_j\mu(B_j)=\int\psi\,d\mu$.

Conclusion.

Cette linéarité sur les étagées est la brique de base à partir de laquelle on étend ensuite la linéarité de l'intégrale à toutes les fonctions intégrables, par passage à la limite dans la construction par sup.

Démontrer que $f$ mesurable bornée sur un ensemble de mesure finie est toujours intégrable (i.e. $\int|f|\,d\mu<\infty$).

Hypothèses. Soit $f$ mesurable avec $|f(x)|\leq M$ pour tout $x\in\Omega$ (bornée), et $\mu(\Omega)<\infty$ (mesure finie).

Majoration directe. La fonction constante $g=M\cdot\mathbb{1}_\Omega$ est une fonction étagée positive vérifiant $|f|\leq g$ partout sur $\Omega$.

Monotonie de l'intégrale. Par construction de l'intégrale de Lebesgue (borne supérieure des intégrales des étagées minorant la fonction), si $h\leq g$ (avec $h,g\geq0$ mesurables), alors $\int h\,d\mu\leq\int g\,d\mu$ (toute étagée $\leq h$ est aussi $\leq g$, donc l'ensemble des étagées dont on prend le sup pour $h$ est inclus dans celui pour $g$).

Application. $\int|f|\,d\mu \leq \int g\,d\mu = \int M\cdot\mathbb{1}_\Omega\,d\mu = M\cdot\mu(\Omega)$.

Conclusion. Comme $M<\infty$ et $\mu(\Omega)<\infty$, on a $M\cdot\mu(\Omega)<\infty$, donc $\int|f|\,d\mu<\infty$ : $f$ est intégrable. $\square$ Ce résultat justifie que, sur un espace de mesure finie (comme $[0,1]$ muni de Lebesgue), toute fonction mesurable bornée est automatiquement intégrable, sans condition supplémentaire — contrairement au cas d'un espace de mesure infinie (comme $\mathbb{R}$ tout entier), où une fonction bornée n'est pas forcément intégrable (par exemple $f\equiv1$ sur $\mathbb{R}$).