Théorèmes de convergence (monotone, dominée)

Quelle hypothèse principale requiert le théorème de convergence monotone sur la suite $(f_n)$ ?

Le théorème de convergence monotone (Beppo Levi) demande que la suite soit positive et croissante — c'est cette monotonie qui garantit l'échange limite-intégrale, sans besoin de domination.

Vrai ou faux : le théorème de convergence dominée nécessite l'existence d'une fonction intégrable $g$ dominant uniformément tous les $f_n$.

Vrai. C'est précisément l'hypothèse de « domination » qui donne son nom au théorème : $|f_n|\leq g$ presque partout, pour tout $n$, avec $g$ intégrable.

Que dit le lemme de Fatou ?

Le lemme de Fatou est une inégalité, pas une égalité, valable pour toute suite de fonctions positives (sans hypothèse de monotonie ni de domination).

Vrai ou faux : la suite $f_n=n\cdot\mathbb{1}_{[0,1/n]}$ vérifie les hypothèses du théorème de convergence dominée.

Faux. Il n'existe aucune fonction intégrable $g$ dominant uniformément tous les $f_n$, car $f_n(0)=n\to+\infty$ : aucune fonction fixe $g$ ne peut majorer $f_n(0)$ pour tout $n$. C'est pourquoi $\lim\int f_n=1\neq0=\int\lim f_n$ dans cet exemple.

Pour $f_n(x)=\dfrac{\sin(nx)}{1+nx^2}$ sur $[0,1]$, quelle fonction constante peut servir de fonction dominante intégrable $g$ ?

Comme $|\sin(nx)|\leq1$ et $1+nx^2\geq1$, on a $|f_n(x)|\leq1$ pour tout $n,x$, donc $g\equiv1$ (intégrable sur $[0,1]$ de mesure finie) domine uniformément la suite.

Soit $f_n(x)=\min(n,1/\sqrt x)$ sur $]0,1]$. En appliquant le théorème de convergence monotone, calculer $\lim_n\int_0^1f_n\,d\lambda$.

La suite croît vers $f(x)=1/\sqrt x$, donc par convergence monotone, $\lim_n\int_0^1f_n\,d\lambda=\int_0^1\frac{1}{\sqrt x}dx=[2\sqrt x]_0^1=2$.

Vrai ou faux : dans le théorème de convergence dominée, la convergence simple de $(f_n)$ vers $f$ peut être seulement presque partout (pas nécessairement en tout point).

Vrai. C'est l'un des avantages de la théorie de la mesure : les hypothèses des théorèmes de convergence n'ont besoin d'être vérifiées que presque partout, les ensembles négligeables n'affectant jamais la valeur de l'intégrale.

Pourquoi le théorème de convergence monotone ne s'applique-t-il pas directement à une suite décroissante de fonctions positives ?

Le théorème de convergence monotone, dans sa forme standard, est énoncé pour les suites croissantes. Pour une suite décroissante $(f_n)$ de fonctions positives, on peut obtenir un résultat analogue en appliquant le théorème à $g_n=f_1-f_n$ (croissante), à condition que $f_1$ soit intégrable — sans cette précaution supplémentaire, le résultat peut être faux.

Soit $f_n(x)=\dfrac{x}{n}\cdot\mathbb{1}_{[0,n]}(x)$. Cette suite vérifie-t-elle les hypothèses de la convergence dominée sur $\mathbb{R}$ tout entier ?

Faux. Bien que $f_n(x)\to0$ pour tout $x$ fixé (car pour $n$ assez grand $x/n\to0$), il n'existe aucune fonction intégrable $g$ sur $\mathbb{R}$ dominant uniformément tous les $f_n$ : sur $[0,n]$, $f_n$ atteint la valeur $1$ en $x=n$, donc toute fonction dominante devrait valoir au moins $1$ sur des intervalles de longueur croissante, ce qui empêche son intégrabilité sur $\mathbb{R}$.

Calculer $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\int_0^1\frac{nx}{1+n^2x^2}\,dx$ en justifiant l'usage (ou non) du théorème de convergence dominée.

Convergence simple. Pour $x\in\,]0,1]$ fixé, $f_n(x)=\dfrac{nx}{1+n^2x^2}\sim\dfrac{nx}{n^2x^2}=\dfrac{1}{nx}\to0$ quand $n\to+\infty$. En $x=0$, $f_n(0)=0$ pour tout $n$. Donc $f_n\to0$ simplement sur $[0,1]$.

Recherche d'une domination uniforme. En étudiant $f_n$ comme fonction de $x$ (dérivée par rapport à $x$ nulle en $x=1/n$), on trouve que le maximum de $f_n$ sur $\mathbb{R}_+$ est atteint en $x=1/n$, avec $f_n(1/n)=\dfrac{n\cdot(1/n)}{1+n^2\cdot(1/n^2)}=\dfrac{1}{2}$. Donc $|f_n(x)|\leq\dfrac12$ pour tout $x$ et tout $n$ : la fonction constante $g\equiv1/2$ (intégrable sur $[0,1]$, de mesure finie) domine uniformément la suite.

Application du théorème de convergence dominée.

Démontrer, en utilisant le théorème de convergence monotone, que pour une série de fonctions mesurables positives $\sum_{k=1}^{+\infty}g_k$, on a $\displaystyle\int\left(\sum_{k=1}^{+\infty}g_k\right)d\mu = \sum_{k=1}^{+\infty}\int g_k\,d\mu$ (intégration terme à terme).

Construction de la suite croissante. Posons $f_n=\displaystyle\sum_{k=1}^ng_k$ (somme partielle). Comme chaque $g_k\geq0$, la suite $(f_n)_n$ est croissante : $f_{n+1}=f_n+g_{n+1}\geq f_n$. De plus, $f_n\to\displaystyle\sum_{k=1}^{+\infty}g_k$ simplement (par définition de la somme d'une série).

Application du théorème de convergence monotone.

Linéarité finie de l'intégrale. Pour chaque $n$ fixé, par linéarité de l'intégrale sur une somme finie :

Passage à la limite. En faisant $n\to+\infty$ dans cette dernière égalité :

Conclusion. En combinant les deux expressions de $\lim_n\int f_n\,d\mu$ :

Ce résultat (intégration terme à terme d'une série de fonctions positives) est un outil extrêmement utilisé en pratique, notamment en probabilités (calcul d'espérances de sommes de variables aléatoires positives).

Démontrer que le théorème de convergence dominée implique la continuité de $x\mapsto\displaystyle\int_0^1 e^{-xt}\,dt$ en tout point $x_0\geq0$ (en justifiant l'échange limite-intégrale via une suite $x_n\to x_0$).

Mise en place. Notons $F(x)=\displaystyle\int_0^1e^{-xt}\,dt$. Pour montrer que $F$ est continue en un point $x_0\geq0$, il suffit de montrer que pour toute suite $(x_n)_n$ avec $x_n\to x_0$ (et $x_n\geq0$), on a $F(x_n)\to F(x_0)$ (caractérisation séquentielle de la continuité).

Convergence simple de l'intégrande. Posons $f_n(t)=e^{-x_nt}$ sur $[0,1]$. Par continuité de l'exponentielle et de $(x,t)\mapsto xt$, pour chaque $t\in[0,1]$ fixé, $f_n(t)=e^{-x_nt}\to e^{-x_0t}$ quand $n\to+\infty$ (convergence simple).

Domination uniforme. Comme $x_n\geq0$ et $t\in[0,1]$, on a $x_nt\geq0$, donc $f_n(t)=e^{-x_nt}\leq e^0=1$ pour tout $n$ et tout $t$. La fonction constante $g\equiv1$ (intégrable sur $[0,1]$, mesure finie) domine donc uniformément la suite.

Application du théorème de convergence dominée.

Conclusion. Comme $(x_n)$ était une suite arbitraire convergeant vers $x_0$, on a montré $F(x_n)\to F(x_0)$ dans tous les cas, donc $F$ est continue en $x_0$. $\square$ Cette technique (domination uniforme par une constante, indépendante du paramètre) est extrêmement courante pour justifier la continuité ou la dérivabilité d'intégrales à paramètre.

Vrai ou faux : le lemme de Fatou peut être utilisé pour démontrer le théorème de convergence dominée.

Vrai. La démonstration standard du théorème de convergence dominée applique le lemme de Fatou deux fois : une fois à $g+f_n\geq0$ et une fois à $g-f_n\geq0$ (où $g$ est la fonction dominante), pour encadrer $\liminf$ et $\limsup$ de $\int f_n$ et conclure à l'égalité $\lim\int f_n=\int f$.

Calculer $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\int_0^{+\infty}\frac{n}{1+n^2x^2}\,e^{-x}\,dx$ en discutant si le théorème de convergence dominée s'applique directement (réponse attendue : non directement par une constante, le résultat nécessite une analyse plus fine).

Observation clé. La fonction $\delta_n(x)=\dfrac{n}{1+n^2x^2}$ se comporte, quand $n\to+\infty$, comme une approximation de l'identité (noyau de Dirac) : elle se concentre de plus en plus près de $x=0$ tout en gardant une intégrale totale constante. En effet, par le changement de variable $u=nx$ :

Pourquoi la convergence dominée par une constante échoue ici. Comme pour l'exemple $f_n=n\cdot\mathbb{1}_{[0,1/n]}$ déjà rencontré, $\delta_n(0)=n\to+\infty$ : aucune fonction fixe ne peut dominer uniformément toute la suite près de $x=0$.

Calcul de la limite par un argument de noyau concentré. Comme $\delta_n$ se concentre en $x=0$ avec une masse totale $\pi/2$ constante, et que $e^{-x}$ est continue avec $e^{-0}=1$, on a (résultat classique d'approximation de l'identité, analogue au théorème de convergence des noyaux de Dirac) :

Conclusion. Contrairement à l'exemple $n\cdot\mathbb{1}_{[0,1/n]}$ (où la limite valait $0\neq1=\lim\int f_n$), ici la limite de l'intégrale est non triviale et non nulle ($\pi/2$), illustrant que les suites « concentrées » sans domination uniforme nécessitent une analyse au cas par cas (souvent via la théorie des approximations de l'identité), le théorème de convergence dominée standard ne s'appliquant pas directement par une simple borne constante.

Vrai ou faux : si $(f_n)$ converge vers $f$ presque partout et que $\int|f_n|\,d\mu\to\int|f|\,d\mu<\infty$, alors on peut conclure $\int f_n\,d\mu\to\int f\,d\mu$ même sans domination explicite par une fonction fixe $g$ (théorème de Scheffé).

Vrai — c'est précisément le contenu du théorème de Scheffé, une variante du théorème de convergence dominée qui remplace l'hypothèse de domination uniforme par la convergence des normes $L^1$ (intégrales des valeurs absolues). Il est notamment très utilisé en théorie des probabilités pour établir la convergence de densités de probabilité.